funcții trigonometrice. Sarcini de prezentare a graficelor funcțiilor trigonometrice

slide 6

Funcții trigonometrice ale unui unghi dublu:

sin 2x = 2sinx cosx cos 2x = cos2x -sin2x tg 2x = 2tg x /(1-tg2x) ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)

Slide 7

Funcții trigonometrice de semiunghi

Formulele care exprimă puterile sin și cos ale unui argument simplu în termeni de sin și cos ale unui multiplu sunt adesea utile, de exemplu: formulele pentru cos2x și sin2x pot fi folosite pentru a găsi valorile lui T. f. jumătate de argument

Slide 8

Funcții trigonometrice ale sumei unghiurilor

sin(x+y)= sin x cos y + cos x sin y sin(x-y)= sin x cos y - cos x sin y cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y

Slide 9

Pentru valori mari ale argumentului, se pot folosi așa-numitele formule de reducere, care permit exprimarea T. f. orice argument prin T. f. argumentul x, care simplifică întocmirea tabelelor T. f. și utilizarea acestora, precum și construcția de grafice. Aceste formule au forma: în primele trei formule, n poate fi orice număr întreg, semnul superior corespunzător valorii n = 2k, iar semnul inferior corespunzător valorii n = 2k + 1; în acesta din urmă - n poate fi doar un număr impar, iar semnul superior este luat la n = 4k + 1, iar cel inferior la n = 4k - 1.

Slide 10

Cele mai importante formule trigonometrice sunt formulele de adunare care exprimă T. f. suma sau diferența valorilor argumentului prin T. f. aceste valori: semnele din părțile din stânga și din dreapta ale tuturor formulelor sunt consecvente, adică semnul superior (inferior) din stânga corespunde cu semnul superior (de jos) din dreapta. Din ele, în special, se obțin formule pentru T. f. argumente multiple, de exemplu:

diapozitivul 11

Derivatele tuturor funcțiilor trigonometrice sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice

slide 12

Graficul funcției y = sinx arată astfel:

diapozitivul 13

Graficul funcției y = cosx arată astfel:

Slide 14

Graficul funcției y = tgx arată astfel:

diapozitivul 15

Graficul funcției y = ctgx arată astfel:

slide 16

Istoria apariției funcțiilor trigonometrice

T. f. a apărut pentru prima dată în legătură cu cercetările în astronomie și geometrie. Raporturile segmentelor dintr-un triunghi și un cerc, care sunt în esență T. f., se găsesc deja în secolul al III-lea. î.Hr e. în munca matematicienilor Grecia antică- Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga etc. Cu toate acestea, aceste rapoarte nu sunt un obiect de studiu independent pentru ei, deci T. f. ca atare nu au fost studiate. T. f. au fost considerate inițial ca segmente și au fost folosite în această formă de Aristarh (sfârșitul secolului al IV-lea - a doua jumătate a secolului al III-lea î.Hr.)

Slide 17

Hipparh (sec. II î.Hr.), Menelau (sec. I d.Hr.) și Ptolemeu (sec. II d.Hr.) la rezolvarea triunghiurilor sferice. Ptolemeu a alcătuit primul tabel de acorduri pentru unghiuri acute la intervale de 30" cu o precizie de 10-6. Extinderea funcției termodinamice în serii de puteri a fost obținută de I. Newton (1669). Teoria funcțiilor termofuncționale a fost adusă în forma moderna de L. Euler (secolul al XVIII-lea i.Hr.).Detine definitia TF pentru argumente reale si complexe, simbolismul acum acceptat, stabilirea unei legaturi cu functia exponentiala, ortogonalitatea sistemului de sinusuri si cosinusuri.

Vizualizați toate diapozitivele

„Funcții trigonometrice »

„Spune-mi și voi uita, Arată-mi și îmi voi aminti, Implică-mă și voi învăța.” (proverb chinezesc)

Profesor de matematică

Samolysova T.V.

Școala secundară MBOU Strashevichskaya

Graficul al cărei funcție este prezentat în figură:

3)y = tg x 4)y = ctg x

„Funcțiile trigonometrice” sunt necesare în fiecare profesie.

1. Sudori (La pregătirea metalului pentru sudare și tăiere)

2. Electricieni (Când studiezi undele electromagnetice- vibratii armonice)

3. Mecanica auto (Când studiezi echilibrarea roților, sistemele de rezonanță auto)

4. Maeștri ai lucrărilor de finisare (Când pictează pereții în mod creativ)

Mecanici auto. Este dat un grafic al vibrațiilor pistonului unui motor de mașină. Determinați perioada de oscilație (T). Ce funcție este prezentată în figură?

Electrician.

Este dat un grafic al oscilațiilor în circuitul oscilator al unui transmițător radio. Determinați tensiunea (U) și perioada de oscilație (T). Ce funcție este prezentată în figură?

« Nu poți învăța matematica privindu-ți vecinul făcând asta » (A. Niven)

1) Găsiți domeniul de aplicare al funcției:

2) Găsiți setul de valori ale funcției:

y=12sinx - 5cosx

3) Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor

Rezolvarea problemelor

Rezolvarea problemelor

Construiți grafice de funcție:

Rezolvați grafic inegalitatea cos x ≤ sin x

Răspuns: P/4+2Pn≤X≤5P/4+2Pn, n  Z

Muncă independentă

Un accident fericit cade doar în mințile pregătite Louis Pasteur

Începe gândirea cu surprindere Aristotel

Trigonometrie în palma mâinii tale

Pe ecranul dispozitivelor fizice.

mișcare sinusoidală

Această diagramă este adesea folosită în viață. În special, există chiar și o expresie precum mișcarea de-a lungul unei sinusoide.

In constructie

Sinusoidul poate fi găsit în natură

Rezumând

Mai faceți un pas în matematică

Am găsit o legătură între ………….. Și ……………….

Repetat…………….

Teme pentru acasă

1. Realizați un puzzle de cuvinte încrucișate pe această temă.

2.Găsiți perioada funcției y = 3*cos (x + π /4)

3. Reprezentați grafic funcția y \u003d cos (x + π / 4) + 1

Grafice ale funcțiilor trigonometrice Funcția y \u003d sin x, proprietățile sale Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin translație paralelă Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin comprimare și extindere Pentru curioșiPentru curioși ...

Funcții trigonometrice3 Proprietăți ale funcției y = sin x 0 pentru x (0+2 n; +2 n), n Z Y"> 0 pentru x (0+2 n; +2 n), n Z Y"> 0 pentru x (0+2 n; +2 n ), n Z Y" title="(!LANG: funcții trigonometrice3 Proprietăți ale funcției y = sin x 5. Intervale de constantă: Y>0 pentru x (0+2 n; +2 n), n Z Y"> title="funcții trigonometrice3 Proprietăți ale funcției y \u003d sin x"> !}

Funcții trigonometrice8 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice Graficul funcției y \u003d f (x + b) se obține din graficul funcției y \u003d f (x) prin translație paralelă cu unități (-to) de-a lungul abscisei Graficul a funcției y \u003d f (x) + a se obține din funcțiile grafice y \u003d f (x) prin translație paralelă cu (a) unități de-a lungul axei y

1) de-a lungul axei y Graficul funcției y = k f" title="(!LANG:funcții trigonometrice14 Conversia graficelor funcției trigonometrice prin comprimarea și întinderea de k ori (pentru k>1) de-a lungul axei y Graficul funcției y = k f" class="link_thumb"> 14 !} funcții trigonometrice14 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin strângere și întindere Graficul funcției y \u003d k f (x) se obține din graficul funcției y \u003d f (x) prin întinderea acesteia de k ori (pentru k>1) de-a lungul axa ordonatelor Graficul funcției y \u003d k f (x ) se obține din graficul funcției y = f(x) prin comprimarea acesteia de k ori (la 0 1) de-a lungul axei y Graficul funcției y \u003d k f "> 1) de-a lungul axei y Graficul funcției y \u003d k f (x) este obținut din graficul funcției y \u003d f ( x) prin comprimarea lui de k ori (la 0"> 1) de-a lungul axei y = k f" title="(!LANG:funcții trigonometrice14 Transformarea graficelor de funcții trigonometrice prin strângere și întindere Graficul lui y =k f (x) se obține din graficul lui y = f(x) prin întinderea lui de k ori (când k>1) de-a lungul axei y Graficul funcției y = k f"> title="funcții trigonometrice14 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin comprimare și întindere Graficul funcției y \u003d k f (x) se obține din graficul funcției y \u003d f (x) prin întinderea acesteia de k ori (pentru k>1) de-a lungul axa y Graficul funcției y \u003d k f"> !}

1) de-a lungul abscisei Graficul funcției y = f (kx) "title="(!LANG:funcții trigonometrice16 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin strângere și întindere Graficul funcției y = f (kx) se obține din diagramă a funcției y = f(x) prin compresia sa cu un factor de k (pentru k>1) de-a lungul axei x Graficul funcției y \u003d f (kx)" class="link_thumb"> 16 !} funcții trigonometrice16 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin comprimare și întindere Graficul funcției y \u003d f (kx) se obține din graficul funcției y \u003d f (x) prin comprimarea acesteia de k ori (pentru k>1) de-a lungul abscisa Graficul funcției y \u003d f (kx ) se obține din graficul funcției y \u003d f (x) prin întinderea acesteia de k ori (la 0 1) de-a lungul abscisei Graficul funcției y = f (kx) "> 1) de-a lungul abscisei Graficul funcției y \u003d f (kx) este obținut din graficul funcției y \u003d f (x) prin întinderea lui de k ori (la 0"> 1 ) de-a lungul abscisei Graficul funcției y = f (kx) " title="(!LANG:funcții trigonometrice16 Conversia graficelor funcțiilor trigonometrice prin strângere și întindere Graficul funcției y = f (kx) se obține din graficul funcției y = f(x) prin compresia acesteia cu un factor de k (pentru k>1) de-a lungul axei x Graficul funcției y \u003d f (kx)"> title="funcții trigonometrice16 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin comprimare și întindere Graficul funcției y \u003d f (kx) se obține din graficul funcției y \u003d f (x) prin comprimarea acesteia de k ori (pentru k>1) de-a lungul abscisa Graficul funcției y \u003d f (kx )"> !}

Funcții trigonometrice18 Conversia graficelor funcțiilor trigonometrice prin comprimare și întindere Graficele funcțiilor y = -f (kx) și y = -k f (x) se obțin din graficele funcțiilor y = f (kx) și y = k f ( x), respectiv, prin oglindirea lor față de axa absciselor, sinusul este o funcție impară, deci sin(-kx) = - sin (kx) cosinus este o funcție pară, deci cos(-kx) = cos(kx)

Funcții trigonometrice21 Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice prin strângere și întindere Graficul funcției y = f (kx+b) se obține din graficul funcției y = f(x) prin translarea acesteia cu (-in/k) unități de-a lungul axa x și prin strângerea în k ori (pentru k>1) sau întinderea de k ori (pentru 0 1) sau întinderea de k ori (la 0 ">

X y 1 y= cosx Sondaj individual (revizuire a materialelor din ziua precedentă)

Pe site-ul pe care l-am gasit chestii interesante„Model de bioritmuri” Pentru a construi un model de bioritmuri, trebuie să introduceți data nașterii unei persoane, data de referință (zi, lună, an) și durata prognozei (număr de zile). După cum puteți vedea , graficul este o sinusoidă.

Pe site am găsit material că traiectoria unui glonț coincide cu o sinusoidă. Figura arată că proiecțiile vectorilor pe axele X și respectiv Y sunt egale cu υ x = υ o cos α υ y = υ o sin α

Pe site-ul math.ru/load/shkolnaja_matematika/alge bra_10_klass/grafiki_trigon/ există material despre rotația la 360° a Pământului în 365 de zile. Interesant, aceasta poate fi reprezentată ca o sinusoidă. math.ru/load/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/grafiki_trigon/

În lecțiile de fizică, am studiat mișcarea oscilatorie a unui pendul. Pe site am găsit material pe care pendulul se balansează de-a lungul unei curbe numite cosinus

Anatole France Învățarea nu poate fi decât distractivă... Pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu poftă. Masa de seara.

Proprietățile funcției 1. D(tg x) = R, cu excepția x = P/2 + Pn, 2. E (tg x) = R. 3. Funcție periodică cu perioada principală T = P. 4. Funcție impară. 5. Creșteri pe întregul domeniu de definiție 6. Zerouri ale funcției: y(x) = 0 la x= Pn, 7. Nelimitat nici de sus, nici de jos. 8. Nu există o valoare maximă sau minimă. Graficul funcției y=tg x.

Proprietățile funcției y \u003d сtg x 1. D (сtg x) \u003d R, cu excepția x \u003d Pn, 2. E (сtg x) \u003d R. 3. Funcție periodică cu perioada principală T \u003d P . 4. Funcție impară. 5. Scăderi pe întregul domeniu al definiției 6. Zerourile funcției: y(x) = 0 pentru x = P/2 + Pn, 7. Nelimitat nici de sus, nici de jos. 8. Nu există o valoare maximă sau minimă.

slide 1

Tema: Proprietăţile funcţiilor trigonometrice. Obiectivele lecției: 1. Revedeți subiectul „Cercetare pe funcții”. 2. Sistematizarea cunoștințelor despre proprietățile funcțiilor trigonometrice. 3. Dezvoltați interesul pentru matematică. 4. Cultivați respectul unul pentru celălalt. 5. Educarea unei culturi a comportamentului într-un loc public. 5class.net

slide 2


Astăzi la lecție vă invit să vizitați Math Cafe. Fiecare cuplu este invitat să stea la o masă separată (o fată și un băiat). Tuturor vizitatorilor „Mathematical Cafe” li se oferă un meniu care constă din aperitive reci, feluri întâi, secunde și trei și desert.

slide 3


Aperitive reci. Cuvânt încrucișat „Termeni matematici” Sarcină: Este necesar să introduceți literele lipsă dacă fiecare linie conține doar prima și ultima literă a cuvântului.

slide 4


Prima masă. Formulați sau definiți fiecare proprietate a funcției 1) f(- x) = f(x) 2) f(x) = f(x – T) = f(x + T) 3) f(- x) = - f (x) 4). Dacă x2 > x1, atunci f(x2) > f(x1) 5). Punctele maxime și minime ale funcției 6). Intervale în care funcția ia fie valori pozitive, fie valori negative 7). Dacă x2 > x1, atunci f(x2)

slide 5

Gimnastica pentru ochi

Închideți ochii, deschideți ochii (repetați de 5 ori) Faceți mișcări circulare cu ochii fără a vă roti capul (repetați de 10 ori).

slide 6

Citiți graficul unei funcții

• Slide 7

  Cursuri secunde.

  Citirea unui grafic de funcții (puteți folosi schema de cercetare a graficului de funcție). Schema studiului functiei: Domeniul functiei Domeniul functiei Par sau impar, periodicitatea functiei Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate Intervalele semnului constant al functiei Intervalele de creștere și scădere a funcției Punctele extreme ale funcției, tipul de extremă (maxim sau minim), valorile funcției în aceste puncte

  Slide 8

  Minut de educație fizică

  Poziția de pornire - în picioare, mâinile în jos. În detrimentul „timpului” – ridică mâinile, ridică-te; în detrimentul „două” - reveniți la poziția inițială (repetați de 5 - 6 ori). Poziția de pornire - în picioare, cu mâinile în jos. În detrimentul „unui” - ridicați mâna dreaptă în sus, puneți piciorul stâng pe spate, aplecați-vă; pe cheltuiala lui „doi” - revenirea la poziția inițială; la numărarea „trei” - ridicați mâna stângă în sus, puneți piciorul drept pe spate, aplecați-vă; la numărarea „patru” - reveniți la poziția inițială (repetați de 5 - 6 ori).