fonctions trigonométriques. Tâches présentation de graphiques de fonctions trigonométriques

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Fonctions trigonométriques d'un angle double :

sin 2x = 2sinx cosx cos 2x = cos2x -sin2x tg 2x = 2tg x /(1-tg2x) ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)

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Fonctions trigonométriques demi-angle

Les formules qui expriment les puissances de sin et cos d'un argument simple en termes de sin et cos d'un multiple sont souvent utiles, par exemple : Les formules pour cos2x et sin2x peuvent être utilisées pour trouver les valeurs de T. f. demi-argument

Diapositive 8

Fonctions trigonométriques de la somme des angles

sin(x+y)= sin x cos y + cos x sin y sin(x-y)= sin x cos y - cos x sin y cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y

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Pour les grandes valeurs de l'argument, on peut utiliser les formules dites de réduction, qui permettent d'exprimer le T. f. tout argument par T. f. argument x, ce qui simplifie la compilation des tables T. f. et leur utilisation, ainsi que la construction de graphiques. Ces formules ont la forme : dans les trois premières formules, n peut être n'importe quel nombre entier, avec le signe supérieur correspondant à la valeur n = 2k, et le signe inférieur correspondant à la valeur n = 2k + 1 ; dans ce dernier - n ne peut être qu'un nombre impair, et le signe supérieur est pris à n = 4k + 1, et le signe inférieur à n = 4k - 1.

Diapositive 10

Les formules trigonométriques les plus importantes sont les formules d'addition exprimant le T. f. la somme ou la différence des valeurs de l'argument à travers T. f. ces valeurs : les signes dans les parties gauche et droite de toutes les formules sont cohérents, c'est-à-dire que le signe supérieur (inférieur) à gauche correspond au signe supérieur (inférieur) à droite. À partir d'eux, en particulier, des formules sont obtenues pour T. f. plusieurs arguments, par exemple :

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Les dérivés de toutes les fonctions trigonométriques sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques

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Le graphique de la fonction y = sinx ressemble à :

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Le graphique de la fonction y = cosx ressemble à :

Diapositive 14

Le graphique de la fonction y = tgx ressemble à :

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Le graphique de la fonction y = ctgx ressemble à :

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L'histoire de l'émergence des fonctions trigonométriques

T. f. est né pour la première fois dans le cadre de la recherche en astronomie et en géométrie. Les rapports des segments dans un triangle et un cercle, qui sont essentiellement T. f., se trouvent déjà au 3ème siècle. avant JC e. dans le travail des mathématiciens La Grèce ancienne- Euclide, Archimède, Apollonius de Perge, etc. Cependant, ces ratios ne sont pas pour eux un objet d'étude indépendant, donc T. f. en tant que tels, ils n'ont pas été étudiés. T. f. étaient initialement considérés comme des segments et étaient utilisés sous cette forme par Aristarque (fin IVe - IIe moitié IIIe siècles av. J.-C.)

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Hipparque (2ème siècle avant JC), Ménélas (1er siècle après JC) et Ptolémée (2ème siècle après JC) lors de la résolution de triangles sphériques. Ptolémée a compilé le premier tableau d'accords pour des angles aigus à des intervalles de 30" avec une précision de 10-6. L'expansion de la fonction thermodynamique en série de puissance a été obtenue par I. Newton (1669). La théorie des fonctions thermofonctionnelles a été introduite dans forme moderne par L. Euler (XVIIIe siècle av. J.-C.) Il possède la définition de TF pour les arguments réels et complexes, le symbolisme désormais accepté, l'établissement d'un lien avec la fonction exponentielle, l'orthogonalité du système des sinus et des cosinus

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"Fonctions trigonométriques »

"Dis-moi et j'oublierai, Montre-moi et je me souviendrai, Implique-moi et j'apprendrai." (Proverbe chinois)

Professeur de mathématiques

Samolysova T.V.

École secondaire MBOU Strashevichskaya

Le graphique dont la fonction est montrée dans la figure:

3)y = tg x 4)y = ctg x

Les "fonctions trigonométriques" sont nécessaires dans chaque profession.

1. Soudeurs (lors de la préparation du métal pour le soudage et le coupage)

2. Électriciens (Lors des études ondes électromagnétiques– vibrations harmoniques)

3. Mécanique automobile (lors de l'étude de l'équilibrage des roues, des systèmes de résonance de voiture)

4. Maîtres des travaux de finition (lors de la peinture des murs de manière créative)

La mécanique automobile. Un graphique des vibrations d'un piston de moteur de voiture est donné. Déterminer la période d'oscillation (T). Quelle fonction est représentée sur la figure ?

Électricien.

Un graphique des oscillations dans le circuit oscillant d'un émetteur radio est donné. Déterminer la tension (U) et la période d'oscillation (T). Quelle fonction est représentée sur la figure ?

« Vous ne pouvez pas apprendre les maths en regardant votre voisin le faire » (A. Niven)

1) Trouvez la portée de la fonction :

2) Trouvez l'ensemble des valeurs de la fonction :

y=12sinx - 5cosx

3) Trouver la plus petite période positive des fonctions

Résolution de problème

Résolution de problème

Construire des graphiques de fonction :

Résoudre graphiquement l'inégalité cos x ≤ sin x

Réponse : P/4+2Pn≤X≤5P/4+2Pn, n  Z

Travail indépendant

Un heureux accident ne tombe que sur les esprits préparés Louis Pasteur

La réflexion commence avec étonnement Aristote

La trigonométrie dans la paume de votre main

Sur l'écran des appareils physiques.

mouvement sinusoïdal

Ce tableau est souvent utilisé dans la vie. En particulier, il existe même une expression telle que le mouvement le long d'une sinusoïde.

En construction

La sinusoïde peut être trouvée dans la nature

Résumé

Faites un pas de plus en maths

Trouvé une connexion entre ………….. Et …………….

Répété…………….

Devoirs

1. Faites une grille de mots croisés sur ce sujet.

2.Trouvez la période de la fonction y = 3*cos (x + π/4)

3. Représentez graphiquement la fonction y \u003d cos (x + π / 4) + 1

Graphiques de fonctions trigonométriques La fonction y \u003d sin x, ses propriétés Transformer des graphiques de fonctions trigonométriques par translation parallèle Transformer des graphiques de fonctions trigonométriques par compression et expansion Pour les curieuxPour les curieux ...

Fonctions trigonométriques3 Propriétés de la fonction y = sin x 0 pour x (0+2 n ; +2 n), n Z Y"> 0 pour x (0+2 n ; +2 n), n Z Y" > 0 pour x (0+2 n ; +2 n ), n Z Y" title="(!LANG : fonctions trigonométriques3 Propriétés de la fonction y = sin x 5. Intervalles de constance : Y>0 pour x (0+2 n ; +2 n), n Z Y"> title="fonctions trigonométriques3 Propriétés de la fonction y \u003d sin x"> !}

Fonctions trigonométriques8 Transformer des graphes de fonctions trigonométriques Le graphe de la fonction y \u003d f (x + b) est obtenu à partir du graphe de la fonction y \u003d f (x) par translation parallèle d'unités (-to) le long de l'abscisse Le graphe de la fonction y \u003d f (x) + a est obtenue à partir des fonctions graphiques y \u003d f (x) par translation parallèle de (a) unités le long de l'axe y

1) le long de l'axe y Tracé de fonction y = k f" title="(!LANG:fonctions trigonométriques14 Conversion de tracés de fonctions trigonométriques en comprimant et en étirant k fois (pour k>1) le long de l'axe y Graphique de la fonction y = k f" class="link_thumb"> 14 !} fonctions trigonométriques14 Transformer des graphiques de fonctions trigonométriques par compression et étirement Le graphique de la fonction y \u003d k f (x) est obtenu à partir du graphique de la fonction y \u003d f (x) en l'étirant k fois (pour k>1) le long l'axe des ordonnées Le graphique de la fonction y \u003d k f (x ) est obtenu à partir du graphique de la fonction y = f(x) en le compressant k fois (à 0 1) le long de l'axe y Le graphique de la fonction y \u003d k f "> 1) le long de l'axe y Le graphique de la fonction y \u003d k f (x) est obtenu à partir du graphique de la fonction y \u003d f ( x) en le comprimant k fois (à 0"> 1) le long de l'axe y = k f" title="(!LANG:fonctions trigonométriques14 Transformer des graphes de fonctions trigonométriques par compression et étirement Le graphe de y =k f (x) est obtenu à partir de le graphe de y = f(x) en l'étirant k fois (quand k>1) le long de l'axe des y Graphe de la fonction y = k f"> title="fonctions trigonométriques14 Transformer des graphes de fonctions trigonométriques par compression et étirement Le graphe de la fonction y \u003d k f (x) est obtenu à partir du graphe de la fonction y \u003d f (x) en l'étirant k fois (pour k>1) le long l'axe des y Le graphique de la fonction y \u003d k f"> !}

1) en abscisse Tracé de la fonction y = f (kx) "title="(!LANG:fonctions trigonométriques16 Transformer les tracés des fonctions trigonométriques par compression et étirement Le tracé de la fonction y = f (kx) est obtenu à partir du tracé de la fonction y = f(x) par sa compression par un facteur de k (pour k>1) le long de l'axe des x Graphique de la fonction y \u003d f (kx)" class="link_thumb"> 16 !} fonctions trigonométriques16 Transformer des graphes de fonctions trigonométriques par compression et étirement Le graphe de la fonction y \u003d f (kx) est obtenu à partir du graphe de la fonction y \u003d f (x) en le compressant k fois (pour k>1) le long l'abscisse Le graphique de la fonction y \u003d f (kx ) est obtenu à partir du graphique de la fonction y \u003d f (x) en l'étirant k fois (à 0 1) en abscisse Le graphique de la fonction y = f (kx) "> 1) en abscisse Le graphique de la fonction y \u003d f (kx) est obtenu à partir du graphique de la fonction y \u003d f (x) en l'étirant k fois (à 0"> 1 ) le long de l'abscisse Tracé de la fonction y = f (kx) " title="(!LANG:fonctions trigonométriques16 Conversion des tracés des fonctions trigonométriques par compression et étirement Le tracé de la fonction y = f (kx) est obtenu à partir du tracé de la fonction y = f(x) par sa compression par un facteur de k (pour k>1) le long de l'axe des x Graphique de la fonction y \u003d f (kx)"> title="fonctions trigonométriques16 Transformer des graphes de fonctions trigonométriques par compression et étirement Le graphe de la fonction y \u003d f (kx) est obtenu à partir du graphe de la fonction y \u003d f (x) en le compressant k fois (pour k>1) le long l'abscisse Le graphique de la fonction y \u003d f (kx )"> !}

Fonctions trigonométriques18 Conversion de graphes de fonctions trigonométriques par compression et étirement Les graphes des fonctions y = -f (kx) et y = -k f (x) sont obtenus à partir des graphes des fonctions y = f (kx) et y = k f ( x), respectivement, en les reflétant par rapport à l'axe des abscisses sinus est une fonction impaire, donc sin(-kx) = - sin (kx) cosinus est une fonction paire, donc cos(-kx) = cos(kx)

Fonctions trigonométriques21 Transformer des graphes de fonctions trigonométriques par compression et étirement Le graphe de la fonction y = f (kx+b) est obtenu à partir du graphe de la fonction y = f(x) en le traduisant par (-in/k) unités le long l'axe des x et en serrant k fois (pour k>1) ou en étirant k fois (pour 0 1) ou étirement k fois (à 0 ">

X y 1 y= cosx Enquête individuelle (revue du matériel de la veille)

Sur le site j'ai trouvé des choses intéressantes"Modèle de biorythmes" Pour construire un modèle de biorythmes, vous devez entrer la date de naissance d'une personne, la date de référence (jour, mois, année) et la durée de la prévision (nombre de jours).Comme vous pouvez le voir , le graphique est une sinusoïde.

Sur le site, j'ai trouvé du matériel indiquant que la trajectoire d'une balle coïncide avec une sinusoïde. La figure montre que les projections des vecteurs sur les axes X et Y, respectivement, sont égales à υ x = υ o cos α υ y = υ o sin α

Sur le site math.ru/load/shkolnaja_matematika/alge bra_10_klass/grafiki_trigon/ il y a du matériel sur la rotation de 360° de la Terre en 365 jours. Fait intéressant, cela peut être représenté comme une sinusoïde. math.ru/load/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/grafiki_trigon/

Dans les cours de physique, nous avons étudié le mouvement oscillatoire d'un pendule. Sur le site, j'ai trouvé du matériel indiquant que le pendule oscille le long d'une courbe appelée cosinus

Anatole France Apprendre ne peut être que ludique... Pour digérer un savoir, il faut l'absorber avec appétit. Dîner.

Propriétés de la fonction 1. D(tg x) = R, sauf pour x = P/2 + Pn, 2. E (tg x) = R. 3. Fonction périodique avec la période principale T = P. 4. Fonction impaire. 5. Croît sur tout le domaine de définition 6. Zéros de la fonction : y(x) = 0 à x= Pn, 7. Non limité ni par le haut ni par le bas. 8. Il n'y a pas de valeur maximale ou minimale. Graphique de la fonction y=tg x.

Propriétés de la fonction y \u003d сtg x 1. D (сtg x) \u003d R, sauf pour x \u003d Pn, 2. E (сtg x) \u003d R. 3. Fonction périodique avec la période principale T \u003d P . 4. Fonction impaire. 5. Décroît sur tout le domaine de définition 6. Zéros de la fonction : y(x) = 0 pour x = P/2 + Pn, 7. Non limité ni par le haut ni par le bas. 8. Il n'y a pas de valeur maximale ou minimale.

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Sujet : Propriétés des fonctions trigonométriques. Objectifs de la leçon : 1. Revoir le sujet "Recherche sur les fonctions". 2. Systématiser les connaissances sur les propriétés des fonctions trigonométriques. 3. Développer un intérêt pour les mathématiques. 4. Cultivez le respect de l'autre. 5. Éducation d'une culture de comportement dans un lieu public. 5class.net

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Aujourd'hui à la leçon je vous invite à visiter le Math Café. Chaque couple est invité à s'asseoir à une table séparée (une fille et un garçon). Tous les visiteurs du "Mathematical Cafe" se voient proposer un menu composé d'entrées froides, de premier, deuxième et troisième plats et de dessert.

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Apéritifs froids. Tâche de mots croisés "Termes mathématiques": Il est nécessaire d'insérer les lettres manquantes si chaque ligne ne contient que la première et la dernière lettre du mot.

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Premier repas. Formuler ou définir chaque propriété de la fonction 1) f(- x) = f(x) 2) f(x) = f(x – T) = f(x + T) 3) f(- x) = - f (x) 4). Si x2 > x1, alors f(x2) > f(x1) 5). Points maximum et minimum de la fonction 6). Intervalles dans lesquels la fonction prend soit des valeurs positives, soit des valeurs négatives 7). Si x2 > x1, alors f(x2)

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Gymnastique pour les yeux

Fermez les yeux, ouvrez les yeux (répétez 5 fois) Faites des mouvements circulaires avec vos yeux sans tourner la tête (répétez 10 fois).

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Lire le graphique d'une fonction

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  Deuxième cours.

  Lecture d'un graphe de fonction (vous pouvez utiliser le schéma de recherche de graphe de fonction). Schéma de l'étude de la fonction : Le domaine de la fonction Le domaine de la fonction Pair ou impair, la périodicité de la fonction L'intersection du graphe de la fonction avec les axes de coordonnées Les intervalles du signe constant de la fonction Les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction Les points extremum de la fonction, le type d'extremum (maximum ou minimum), les valeurs de la fonction en ces points

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  Minute d'éducation physique

  Position de départ - debout, mains baissées. Au détriment du "temps" - levez la main, levez-vous; au détriment de "deux" - revenez à la position de départ (répétez 5 à 6 fois). Position de départ - debout, mains baissées. Au détriment de "un" - levez la main droite, placez la jambe gauche en arrière, penchez-vous; au détriment de "deux" - retour à la position de départ; au compte de "trois" - levez la main gauche, placez le pied droit en arrière, penchez-vous; au compte de "quatre" - revenez à la position de départ (répétez 5 à 6 fois).