Le jeu dans lequel les participants. Problèmes de théorie des probabilités avec solutions. Ça t'a donné en général deux ans d'entraînement à la marche

avec les premiers diplômés de l'école d'architecture de Moscou.

A.V. : Yulia, vous avez obtenu votre diplôme au studio "Movement Coordination" de Sergei Tchoban, où votre objet de conception était le bloc D-1 à Skolkovo. Autant que je sache, votre travail était probablement le plus spécifique : vous conceviez pour un lieu dont le contexte n'était pas encore formé. Comment est-ce?

Yu.A.: Travailler sans contexte existant était en effet un peu étrange. Dans cette zone de Skolkovo, dont le plan directeur a été élaboré par le bureau de la parole de Sergey Tchoban en collaboration avec la société de David Chipperfield, on nous a donné un site et nous avons dû déterminer quoi en faire. Au premier semestre, nous avons été divisés en 3 groupes de 4 personnes chacun et un concours a été annoncé entre nous pour une solution de planification pour un trimestre. Nous devions placer sur le terrain que nous obtenions, douze, en moyenne - cinq étages, maisons, selon le nombre d'étudiants dans le groupe. Il se trouve que notre équipe a remporté le concours : Anya Shevchenko, Dima Stolbovoy, Artem Slizunov et moi. Nous nous sommes retrouvés avec un plan assez rigide, qui était limité non seulement par certains paramètres cadastraux, mais aussi Termes de référence, et le code de conception.

Quel est votre plan directeur ?

Nous avons changé la structure qui était dans la version originale du schéma directeur : afin de réduire l'échelle de l'environnement, nous avons divisé notre quartier en 4 sous-quartiers avec un espace public à l'intérieur de chacun. De plus, chaque sous-bloc avait sa propre fonction : logements, start-ups, un sous-bloc avec une fonction sportive et un grand bâtiment, et un site avec une auberge, un hôtel, un musée, et la place principale est également situé juste là.

Quelles restrictions avez-vous écrites dans le code de conception ?

Le quartier est très petit, et les intentions de chacun des participants pourraient grandement influencer les autres. Par conséquent, nous n'avons pas prescrit de matériaux spécifiques, mais avons réglementé les changements de forme possibles en définissant l'"empreinte" et le FAR. Par exemple, si vous faites un "ronger", votre nombre d'étages augmente, ce qui à son tour est également limité à un certain niveau.

Quelle était la prochaine étape ?

De plus, chacun de nous a dû développer l'un des bâtiments sur le site, mais lequel, avec quelle fonction - a été déterminé par tirage au sort, nous avons tiré des morceaux de papier avec des «lots». C'était le plan de Sergueï Tchoban. Et cette situation est fondamentalement différente de celle où vous choisissez vous-même le sujet du diplôme et concevez un bâtiment avec une fonction spécifique, que vous rêviez peut-être de concevoir pour les six années d'études. Ici, nous avons dû accepter le fait que nous nous sommes tirés au sort et, d'une part, c'était assez douloureux, mais d'autre part, c'est une situation proche de la vie.

Qu'est-ce que vous obtenez?

J'ai de la chance, à mon avis. J'ai conçu le bâtiment de démarrage. Avec certaines dimensions, qui ne pouvaient pas être changées. Le principe le plus important dont je suis parti était à la fois idéologique et fonctionnel : aujourd'hui c'est une start-up, et demain, il est fort probable qu'elle n'existera plus.

Après tout, qu'est-ce que Skolkovo en général ? Personne ne peut raisonnablement répondre à cette question. Après avoir étudié les matériaux, je suis arrivé à la conclusion que propre stratégie le développement de Skolkovo est assez flexible. Pour moi, c'était la principale condition que devait remplir mon projet. Par conséquent, avec une largeur de bâtiment de 12 mètres, il était important pour moi qu'il n'y ait pas de murs supplémentaires dans mon bâtiment. Je n'ai laissé que les noyaux de raidissement, qui sont obligatoires du point de vue de la conception. L'intérieur est un plan d'étage ouvert et ouvert. Quant à l'aspect extérieur, j'ai essayé de concevoir mon bâtiment de manière à ce qu'il soit assez modeste, mais en même temps expressif.

La façade principale s'est avérée être une butte de 12 mètres surplombant le boulevard. J'ai donc décidé d'affiner sa forme. Le toit à pignon, qui est devenu l'accent visuel de l'ensemble du bâtiment, joue un rôle important. C'est un lien intermédiaire entre les deux "voisins" de mon objet, différents en hauteur et en expressivité.

Avez-vous formé votre propre attitude envers l'idée même du centre d'innovation de Skolkovo en cours de travail?

Il a changé au cours des travaux. Au début, le contexte idéologique dominait un peu. Et puis nous avons commencé à percevoir Skolkovo non plus comme un phénomène à l'échelle de la Russie, mais à considérer attentivement les problèmes du lieu lui-même. Parce qu'aujourd'hui ça pourrait être Centre d'innovation et demain c'est autre chose. Et quoi, votre immeuble devrait donc être démoli ? Une bonne architecture peut vivre plus longtemps que son contexte d'origine. Elle en crée un nouveau.

Était-ce difficile de travailler en groupe ? Comment s'est construite la relation au sein du studio lorsque chacun de vous a lancé son propre projet ?

Oui, bien sûr, c'est difficile. Après tout, cela a fonctionné de telle manière que la situation dans son ensemble pouvait radicalement changer selon les souhaits de chacun. L'intrigue est assez petite, et l'idée de quelqu'un de faire, disons, une console ou autre chose, pourrait affecter, par exemple, les normes d'insolation. Et puis nous nous sommes tous assis et avons commencé à discuter pour savoir si c'était bien ou pas.

La version finale m'a agréablement surpris. Au début, il me semblait que chez chacun le désir de faire un projet de thèse wow, plutôt qu'un travail de groupe harmonieux, l'emporterait. Mais le plan directeur s'est finalement avéré assez équilibré. Il me semble que nous avons réussi à trouver un "juste milieu" entre les ambitions personnelles et la nécessité de suivre certaines règles du jeu.

Quelles étaient les particularités d'étudier avec Sergey Tchoban?

Ce fut un plaisir de travailler avec tous les chefs de notre studio. En plus de Sergei, ce sont Alexei Ilyin et Igor Chlenov du bureau de la parole, et des spécialistes alliés sont également venus aider à gérer certains nœuds. Le processus éducatif a été construit d'une manière délicieusement précise, littéralement à la minute près. Bien que Sergei dans une certaine mesure, probablement, c'était difficile avec nous. Il me semble qu'il comptait sur le fait que nous étions déjà presque des professionnels. Et nous, je ne peux pas dire que nous sommes encore des enfants, mais la différence entre un employé du bureau et un étudiant est quand même incroyablement grande. Il a partagé ses connaissances avec nous non pas en tant qu'enseignant, mais en tant qu'architecte praticien et a réussi à nous faire travailler de manière plus indépendante et les uns avec les autres qu'avec des enseignants. C'était vraiment de la "coordination des mouvements".

Que vous ont apporté en général deux années d'études à MARCH ?

Je ne peux pas dire que le troisième œil s'est ouvert. Mais certains doutes ont été levés, certaines positions ont été renforcées. Maintenant, je suis plus responsable de ce que je fais et de ce que je dis. Peut-être un grand merci pour cette MARS, peut-être un grand merci pour ce moment. Je peux dire que la chose la plus précieuse en MARS est ressource principale les écoles sont des gens et une atmosphère particulière. En gros, j'y suis allé pour les gens. Je suis allé à Sergei Sitar, à Kiril Ass, à Evgeny Viktorovich, à Narine Tyutcheva. De plus, je vous ai eu, camarades, qui m'ont inspiré et soutenu. J'espère que nous continuerons à communiquer, j'espère que nous ferons quelque chose ensemble.

Où avez-vous étudié avant ?

J'ai défendu mon baccalauréat à l'Institut d'architecture de Moscou auprès de la très excellente professeure Irina Mikhailovna Yastrebova. Et je peux ajouter que je traite très bien l'Institut d'architecture de Moscou et que je ne pense pas qu'il s'agisse d'une sorte de relique soviétique. Il donne les bases académiques, et plus tard chacun décide par lui-même ce qu'il veut faire.

Que voulez-vous faire maintenant?

Pendant toutes les années de mon existence dans l'architecture, j'ai écrit, lu, parlé, mais je ne l'ai jamais créé au sens plein du terme. Je faisais, en fait, de l'architecture de papier, avec une telle, vous savez, une prétention à l'art conceptuel. Et si auparavant j'étais complètement sûr que la théorie détermine la pratique, maintenant je ne peux pas y croire tant que je ne l'ai pas vérifié. Par conséquent, j'ai maintenant besoin de visiter un chantier de construction, j'ai besoin de comprendre ce que c'est - quand vous avez fait quelque chose sur papier, puis vous vous êtes battu pour cela, vous vous êtes disputé, vous vous êtes coordonné, et à la fin vous vous tenez debout, regardez et comprenez : c'est tout, c'est arrivé! C'est mon idée fixe. Par conséquent, pendant les deux prochaines années, je prévois de pratiquer et d'essayer de faire mon chemin vers le chantier, jusqu'à la mise en œuvre, le plus court possible.

Problèmes de théorie des probabilités avec solutions

1. Combinatoire

Tache 1 . Il y a 30 élèves dans un groupe. Il faut choisir le chef, le sous-chef et le chef syndical. Combien y a-t-il de façons de faire cela?

La solution. N'importe lequel des 30 étudiants peut être choisi comme chef, l'un des 29 étudiants restants comme adjoint et l'un des 28 étudiants restants comme organisateur syndical, c'est-à-dire n1 = 30, n2 = 29, n3 = 28. Selon la règle de multiplication, le nombre total N de façons de choisir le chef, son adjoint et le dirigeant syndical est N=n1´n2´n3=30´29´28=24360.

Tâche 2 . Deux facteurs doivent livrer 10 lettres à 10 adresses. De combien de manières peuvent-ils répartir le travail ?

La solution. La première lettre a n1=2 alternatives - soit elle fait référence à destinataire le premier facteur, ou le second. Il existe également n2=2 alternatives pour la deuxième lettre, et ainsi de suite, c'est-à-dire n1=n2=…=n10=2. Ainsi, en vertu de la règle de multiplication, le nombre total de façons de distribuer les lettres entre deux facteurs est

Tâche 3. Il y a 100 pièces dans une boîte, dont 30 sont des pièces de 1ère année, 50 sont de la 2e année et le reste est de la 3e année. Combien y a-t-il de façons d'extraire une partie de la 1ère ou de la 2ème année de la boîte ?

La solution. Un détail du 1er degré peut être extrait de n1=30 façons, du 2e degré – de n2=50 façons. Selon la règle de somme, il y a N=n1+n2=30+50=80 façons d'extraire une partie de la 1re ou de la 2e année.

Tâche 5 . L'ordre de passage des 7 participants au concours est déterminé par tirage au sort. Combien de variantes différentes du tirage sont possibles ?

La solution. Chaque version du tirage ne diffère que par l'ordre des participants au concours, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une permutation de 7 éléments. Leur nombre est

Tâche 6 . 10 films participent à la compétition dans 5 nominations. Combien d'options pour la distribution des prix y a-t-il, si pour toutes les nominations divers prix?

La solution. Chacune des options de distribution des prix est une combinaison de 5 films sur 10, qui diffère des autres combinaisons tant par sa composition que par son ordre. Comme chaque film peut recevoir des prix dans une ou plusieurs nominations, les mêmes films peuvent être rediffusés. Par conséquent, le nombre de telles combinaisons est égal au nombre de placements avec des répétitions de 10 éléments par 5 :

Tâche 7 . 16 personnes participent à un tournoi d'échecs. Combien de parties doivent être jouées dans un tournoi si une partie doit être jouée entre deux participants ?

La solution. Chaque jeu est joué par deux participants sur 16 et ne diffère des autres que par la composition des paires de participants, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une combinaison de 16 éléments par 2. Leur nombre est

Tâche 8 . Dans les conditions de la tâche 6, déterminer combien d'options pour la distribution des prix existent, si pour toutes les nominations le même prix?

La solution. Si les mêmes prix sont fixés pour chaque nomination, l'ordre des films dans la combinaison de 5 prix n'a pas d'importance, et le nombre d'options est le nombre de combinaisons avec répétitions de 10 éléments de 5, déterminé par la formule

Tâche 9. Le jardinier doit planter 6 arbres en trois jours. De combien de manières peut-il répartir le travail entre les jours s'il plante au moins un arbre par jour ?

La solution. Supposons qu'un jardinier plante des arbres d'affilée et puisse prendre des décisions différentes quant à l'arbre qu'il arrête le premier jour et celui qu'il arrête le deuxième. Ainsi, on peut imaginer que les arbres sont séparés par deux cloisons, chacune pouvant se tenir à l'un des 5 emplacements (entre les arbres). Les cloisons doivent être là une à la fois, sinon aucun arbre ne sera planté un jour. Ainsi, il faut choisir 2 éléments sur 5 (sans répétitions). Par conséquent, le nombre de façons .

Tâche 10. Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres (commençant éventuellement à zéro) dont la somme des chiffres est égale à 5 ?

La solution. Représentons le nombre 5 comme une somme de uns consécutifs, divisés en groupes par des partitions (chaque groupe de la somme forme le chiffre suivant du nombre). Il est clair que 3 de ces partitions seront nécessaires.Il y a 6 emplacements pour les partitions (avant toutes les unités, entre elles et après). Chaque siège peut être occupé par une ou plusieurs partitions (dans ce dernier cas, il n'y en a pas entre elles, et la somme correspondante est nulle). Considérez ces lieux comme des éléments d'un ensemble. Ainsi, il faut choisir 3 éléments sur 6 (avec répétitions). Par conséquent, le nombre de nombres souhaité

Tâche 11 . De combien de façons peut-on diviser un groupe de 25 élèves en trois sous-groupes A, B et C de 6, 9 et 10 personnes respectivement ?

La solution. Ici n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width="160" height="41">

Tache 1 . Il y a 5 oranges et 4 pommes dans une boîte. 3 fruits sont choisis au hasard. Quelle est la probabilité que les trois fruits soient des oranges ?

La solution. Les résultats élémentaires ici sont des ensembles qui incluent 3 fruits. L'ordre des fruits étant indifférent, nous supposerons que leur choix est désordonné (et non répétitif). gif" width="161 height=83" height="83">.

Tâche 2 . L'enseignant propose à chacun des trois élèves de penser à n'importe quel nombre de 1 à 10. En supposant que chacun des élèves a une chance égale de choisir n'importe quel nombre parmi ceux donnés, trouvez la probabilité que l'un d'eux ait le même nombre.

La solution. Tout d'abord, calculons le nombre total de résultats. Le premier élève choisit un des 10 nombres et a n1=10 possibilités, le deuxième a aussi n2=10 possibilités, et enfin le troisième a aussi n3=10 possibilités. En vertu de la règle de multiplication, le nombre total de voies est : n= n1´n2´n3=103 = 1000, c'est-à-dire que tout l'espace contient 1000 résultats élémentaires. Pour calculer la probabilité de l'événement A, il convient de passer à l'événement opposé, c'est-à-dire de compter le nombre de ces cas lorsque les trois élèves pensent à des nombres différents. Le premier a encore m1=10 façons de choisir un nombre. Le deuxième élève n'a plus que m2=9 possibilités, puisqu'il doit veiller à ce que son numéro ne coïncide pas avec le numéro prévu du premier élève. Le troisième étudiant est encore plus limité dans son choix - il n'a que m3=8 possibilités. Par conséquent, le nombre total de combinaisons de nombres conçus dans lesquelles il n'y a pas de correspondance est égal à m=10×9×8=720. Il y a 280 cas où il y a correspondance, donc la probabilité souhaitée est P=280/1000=0,28.

Tâche 3 . Trouvez la probabilité que dans un nombre à 8 chiffres exactement 4 chiffres soient identiques et que les autres soient différents.

La solution. Evénement A=(un numéro à huit chiffres contient 4 chiffres identiques). De l'état du problème, il s'ensuit que dans le nombre de cinq chiffres différents, l'un d'eux est répété. Le nombre de façons de le choisir est égal au nombre de façons de choisir un chiffre parmi 10 chiffres..gif" width="21" height="25 src="> . Puis le nombre de résultats favorables. Le nombre total de façons de composer des nombres à 8 chiffres est |W|=108 La probabilité souhaitée est égale à

Tâche 4 . Six clients postulent au hasard dans 5 cabinets. Trouvez la probabilité que personne ne postule à au moins une entreprise.

La solution. Considérez l'événement opposé https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">. Le nombre total de façons de répartir 6 clients entre 5 entreprises. D'où . Par conséquent, .

Tâche 5 . Soit une urne contenant N boules, dont M sont blanches et N–M sont noires. n boules sont tirées de l'urne. Trouvez la probabilité qu'il y ait exactement m boules blanches parmi elles.

La solution. Puisque l'ordre des éléments n'est pas significatif ici, le nombre de tous les ensembles possibles de taille n de N éléments est égal au nombre de combinaisons de m boules blanches, n–m boules noires, et, par conséquent, la probabilité souhaitée est P (A)=https://pandia.ru/text/78/307/images/image031_2.gif" width="167" height="44">.

Tâche 7 (tâche de réunion) . Deux personnes A et B ont convenu de se rencontrer à un certain endroit entre 12 et 13 heures. Le premier qui arrive attend l'autre pendant 20 minutes, après quoi il repart. Quelle est la probabilité de rencontrer les personnes A et B si l'arrivée de chacune d'elles peut se produire au hasard à l'heure spécifiée et que les moments d'arrivée sont indépendants ?

La solution. Notons l'heure d'arrivée de la personne A par x et la personne B par y. Pour que la rencontre ait lieu, il faut et il suffit que ôx-yô£20. Représentons x et y comme coordonnées sur le plan, comme unité d'échelle nous choisirons une minute. Toutes les issues possibles sont représentées par les points d'un carré de 60 de côté, et celles favorables à la rencontre sont situées dans la zone ombrée. La probabilité souhaitée est égale au rapport de l'aire de la figure ombrée (Fig. 2.1) à l'aire du carré entier : P(A) = (602–402)/602 = 5/9.

3. Formules de base de la théorie des probabilités

Tache 1 . Il y a 10 boutons rouges et 5 bleus dans une boîte. Deux boutons sont sortis au hasard. Quelle est la probabilité que les boutons soient de la même couleur ? ?

La solution. L'événement A=(les boutons de la même couleur sont supprimés) peut être représenté comme une somme , où les événements et signifient respectivement le choix des boutons rouges et bleus. La probabilité de dessiner deux boutons rouges est égale, et la probabilité de dessiner deux boutons bleus https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height="23 ">.gif" largeur="249" hauteur="83">

Tâche 2 . Parmi les employés de l'entreprise, 28 % connaissent langue Anglaise, 30% - Allemand, 42% - Français ; Anglais et allemand - 8%, anglais et français - 10%, allemand et français - 5%, les trois langues - 3%. Trouvez la probabilité qu'un employé de l'entreprise choisi au hasard : a) connaisse l'anglais ou l'allemand ; b) connaît l'anglais, l'allemand ou le français ; c) ne connaît aucune des langues listées.

La solution. Soit A, B et C les événements où un employé de l'entreprise choisi au hasard parle respectivement l'anglais, l'allemand ou le français. Évidemment, les parts des employés de l'entreprise qui parlent certaines langues déterminent les probabilités de ces événements. On a:

a) P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5 ;

b) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0.28+0, 3+ 0,42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

c) 1-P(AÈBÈC)=0.2.

Tâche 3 . La famille a deux enfants. Quelle est la probabilité que l'aîné soit un garçon si l'on sait qu'il y a des enfants des deux sexes dans la famille ?

La solution. Soit A = (l'aîné est un garçon), B = (il y a des enfants des deux sexes dans la famille). Supposons que la naissance d'un garçon et la naissance d'une fille soient des événements équiprobables. Si la naissance d'un garçon est notée par la lettre M, et la naissance d'une fille est notée par D, alors l'espace de tous les résultats élémentaires se compose de quatre paires : . Dans cet espace, seuls deux résultats (MD et MM) correspondent à l'événement B. L'événement AB signifie qu'il y a des enfants des deux sexes dans la famille. L'aîné est un garçon, donc le deuxième enfant (le plus jeune) est une fille. Cet événement AB correspond à un résultat - MD. Ainsi |AB|=1, |B|=2 et

Tâche 4 . Le maître, disposant de 10 pièces dont 3 non standard, vérifie les pièces une à une jusqu'à ce qu'il en rencontre une standard. Quelle est la probabilité qu'il vérifie exactement deux détails ?

La solution. L'événement A=(le maître a vérifié exactement deux parties) signifie que lors d'un tel contrôle, la première partie s'est avérée non standard et la seconde - standard. Par conséquent, , où =( la première partie s'est avérée non standard) et = (la deuxième partie est standard). Il est évident que la probabilité de l'événement A1 est également égale à , puisqu'avant de prendre la deuxième partie, le maître avait 9 parties restantes, dont seulement 2 sont non standard et 7 sont standard. Par le théorème de multiplication

Tâche 5 . Une boîte contient 3 boules blanches et 5 noires, et l'autre boîte contient 6 boules blanches et 4 noires. Trouvez la probabilité qu'une boule blanche soit tirée d'au moins une case si une boule est tirée de chaque case.

La solution. L'événement A=(une boule blanche est sortie d'au moins une case) peut être représenté comme une somme , où les événements et signifient l'apparition d'une boule blanche à partir des première et deuxième cases, respectivement..gif" width=" 91" hauteur="23">..gif " largeur="20" hauteur="23 src=">.gif" largeur="480" hauteur="23">.

Tâche 6 . Trois examinateurs passent un examen dans une certaine matière à partir d'un groupe de 30 personnes, le premier interrogeant 6 étudiants, le second - 3 étudiants et le troisième - 21 étudiants (les étudiants sont sélectionnés au hasard dans la liste). Le ratio des trois examinateurs aux mal préparés est différent : les chances de ces élèves de réussir l'examen sont de 40 % pour le premier enseignant, seulement 10 % pour le second et 70 % pour le troisième. Trouver la probabilité qu'un étudiant mal préparé réussisse l'examen .

La solution. Dénotons par les hypothèses que l'étudiant mal préparé a répondu respectivement aux premier, deuxième et troisième examinateurs. Selon la tâche

, , .

Soit l'événement A=(l'étudiant mal préparé a réussi l'examen). Là encore, en vertu de l'état du problème

, , .

D'après la formule de probabilité totale, on obtient :

Tâche 7 . La société dispose de trois sources d'approvisionnement en composants - les sociétés A, B, C. La société A représente 50 % de l'approvisionnement total, B - 30 % et C - 20 %. Il est connu de la pratique que parmi les pièces fournies par la société A, 10% sont défectueuses, par la société B - 5% et par la société C - 6%. Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit bonne ?

La solution. Soit l'événement G l'apparition d'une bonne partie. Les probabilités des hypothèses que la pièce a été fournie par les entreprises A, B, C sont respectivement P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(C)=0,2. Les probabilités conditionnelles d'apparition d'une bonne pièce dans ce cas sont P(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94 (comme les probabilités d'événements opposés à l'apparition d'une pièce défectueuse). D'après la formule de probabilité totale, on obtient :

P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923.

Tâche 8 (voir problème 6). Faites savoir que l'étudiant n'a pas réussi l'examen, c'est-à-dire qu'il a reçu une note « insatisfaisante ». Lequel des trois enseignants a le plus probablement répondu ?

La solution. La probabilité d'être "échoué" est de . Il est nécessaire pour calculer les probabilités conditionnelles. D'après les formules de Bayes, on obtient :

https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width="183" height="44 src=">, .

Il s'ensuit que, très probablement, l'étudiant mal préparé a passé l'examen au troisième examinateur.

4. Tests indépendants répétés. Théorème de Bernoulli

Tache 1 . Un dé est lancé 6 fois. Trouvez la probabilité qu'un six sorte exactement 3 fois.

La solution. Lancer un dé six fois peut être considéré comme une séquence d'essais indépendants avec une probabilité de succès ("six") égale à 1/6 et une probabilité d'échec - 5/6. La probabilité souhaitée est calculée par la formule .

Tâche 2 . La pièce est lancée 6 fois. Trouvez la probabilité que le blason apparaisse au plus 2 fois.

La solution. La probabilité recherchée est égale à la somme des probabilités de trois événements, consistant dans le fait que le blason ne tombe pas une seule fois, soit une fois, soit deux fois :

P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 hauteur=24" hauteur= "24">.

Tâche 4 . La pièce est lancée 3 fois. Trouver le nombre le plus probable de succès (armoiries).

La solution. Les valeurs possibles pour le nombre de succès dans les trois épreuves considérées sont m = 0, 1, 2 ou 3. Soit Am l'événement où, sur trois lancers de pièce, le blason apparaît m fois. En utilisant la formule de Bernoulli, il est facile de trouver les probabilités des événements Am (voir tableau) :

Ce tableau montre que les valeurs les plus probables sont les nombres 1 et 2 (leurs probabilités sont de 3/8). Le même résultat peut également être obtenu à partir du Théorème 2. En effet, n=3, p=1/2, q=1/2. Alors

, c'est à dire. .

Tâche 5. Suite à chaque visite agent d'assurance le contrat est conclu avec une probabilité de 0,1. Trouvez le nombre le plus probable de contrats signés après 25 visites.

La solution. Nous avons n=10, p=0,1, q=0,9. L'inégalité pour le nombre le plus probable de succès prend la forme : 25×0,1–0,9 £m*£25×0,1+0,1 ou 1,6 £m*£2,6. Cette inégalité n'a qu'une seule solution entière, à savoir m*=2.

Tâche 6 . On sait que le taux de rebut pour une partie est de 0,5 %. L'inspecteur contrôle 1000 pièces. Quelle est la probabilité de trouver exactement trois pièces défectueuses ? Quelle est la probabilité de trouver au moins trois pièces défectueuses ?

La solution. Nous avons 1000 essais de Bernoulli avec une probabilité de "succès" p=0,005. En appliquant l'approximation de Poisson avec λ=np=5, on obtient

2) P1000(m³3)=1-P1000(m<3)=1-»1-,

et P1000(3)»0,14 ; P1000 (m³3) "0,875.

Tâche 7 . La probabilité d'achat lorsqu'un client visite un magasin est p=0,75. Trouvez la probabilité qu'en 100 visites, un client effectue un achat exactement 80 fois.

La solution. Dans ce cas, n=100, m=80, p=0,75, q=0,25. Nous trouvons , et déterminer j(x)=0.2036, alors la probabilité souhaitée est P100(80)= .

Tâche 8. La compagnie d'assurance a conclu 40 000 contrats. La probabilité d'un événement assuré pour chacun d'eux au cours de l'année est de 2 %. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait pas plus de 870 cas de ce genre.

La solution. Par la condition du problème n=40000, p=0.02. On trouve np=800,. Pour calculer P(m £ 870), on utilise le théorème intégral de Moivre-Laplace :

P(0 .

On trouve d'après le tableau des valeurs de la fonction de Laplace :

P(0

Tâche 9 . La probabilité qu'un événement se produise dans chacun des 400 essais indépendants est de 0,8. Trouver un nombre positif e tel qu'avec une probabilité de 0,99 la valeur absolue de l'écart de la fréquence relative d'occurrence d'un événement par rapport à sa probabilité ne dépasse pas e.

La solution. Par la condition du problème p=0.8, n=400. On utilise le corollaire du théorème intégral de Moivre-Laplace : . Par conséquent, ..gif" largeur="587" hauteur="41">

5. Variables aléatoires discrètes

Tache 1 . Dans un trousseau de 3 clés, une seule clé tient dans la porte. Les clés sont triées jusqu'à ce qu'une clé appropriée soit trouvée. Construire une loi de distribution pour une variable aléatoire x - le nombre de clés testées .

La solution. Le nombre de clés essayées peut être 1, 2 ou 3. Si une seule clé est testée, cela signifie que cette première clé est arrivée immédiatement à la porte et la probabilité d'un tel événement est de 1/3. Donc, de plus, s'il y avait 2 clés testées, c'est-à-dire x = 2, cela signifie que la première clé ne correspondait pas, et la seconde si. La probabilité de cet événement est 2/3×1/2=1/3..gif" width="100" height="21"> Le résultat est la série de distribution suivante :

Tâche 2 . Construisez la fonction de distribution Fx(x) pour la variable aléatoire x du problème 1.

La solution. La variable aléatoire x a trois valeurs 1, 2, 3, qui divisent tout l'axe numérique en quatre intervalles : . Si x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Si 1£x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Si 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x

Et, enfin, dans le cas de x³3, l'inégalité x£x vaut pour toutes les valeurs de la variable aléatoire x, donc P(x

Nous avons donc la fonction suivante :

Tâche 3. La loi conjointe de distribution des variables aléatoires x et h est donnée à l'aide du tableau

Calculer des lois particulières de distribution des composantes x et h. Déterminez s'ils sont dépendants..gif" width="423" height="23 src=">;

https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" width="376" height="23 src=">.

La distribution partielle pour h s'obtient de la même manière :

https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width="229" height="23 src=">.

Les probabilités résultantes peuvent être écrites dans le même tableau en face des valeurs correspondantes des variables aléatoires :

Répondons maintenant à la question sur l'indépendance des variables aléatoires x et h..gif" width="108" height="25 src="> dans cette cellule. Par exemple, dans la cellule pour les valeurs x=- 1 et h=1 il y a une probabilité 1/ 16, et le produit des probabilités partielles correspondantes 1/4×1/4 est égal à 1/16, c'est-à-dire coïncide avec la probabilité jointe. Cette condition est également vérifiée dans le reste cinq cellules, et il s'avère être vrai dans tous. Par conséquent, les variables aléatoires x et h sont indépendantes.

Notez que si notre condition a été violée dans au moins une cellule, alors les quantités doivent être reconnues comme dépendantes.

Pour calculer la probabilité marquer les cellules pour lesquelles la condition est remplie https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src=">

Tâche 4 . Soit la variable aléatoire ξ ayant la loi de distribution suivante :

Calculer l'espérance mathématique Mx, dispersion Dx et écart-type s.

La solution. Par définition, l'espérance de x est

Écart type https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" width="51" height="21">.

La solution. Utilisons la formule . A savoir, dans chaque cellule du tableau, on multiplie les valeurs correspondantes et , on multiplie le résultat par la probabilité pij, et on résume tout cela sur toutes les cellules du tableau. En conséquence, nous obtenons :

Tâche 6 . Pour une paire de variables aléatoires du problème 3, calculez la covariance cov(x, h).

La solution. Dans le problème précédent, l'espérance mathématique a déjà été calculée . Il reste à calculer et . En utilisant les lois de distribution partielle obtenues lors de la résolution du problème 3, nous obtenons

; ;

et ça signifie

ce qui était prévisible en raison de l'indépendance des variables aléatoires.

Tâche 7. Le vecteur aléatoire (x, h) prend les valeurs (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) et (0,–1) avec une probabilité égale. Calculer la covariance des variables aléatoires x et h. Montrez qu'ils sont dépendants.

La solution. Puisque Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5 ; Ð(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, alors Üx=3/5´0+1/5´1+1 /5´(–1)=0 et Üh=0 ;

Ü(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0.

On obtient cov(x, h)=M(xh)–MxMh=0, et les variables aléatoires ne sont pas corrélées. Cependant, ils sont dépendants. Soit x=1, alors la probabilité conditionnelle de l'événement (h=0) est égale à Р(h=0|x=1)=1 et n'est pas égale à l'inconditionnel Р(h=0)=3/5, soit la probabilité (ξ=0,η =0) n'est pas égale au produit des probabilités : Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25 . Donc x et h sont dépendants.

Tâche 8 . Les incréments aléatoires des cours boursiers de deux sociétés aux jours x et h ont une distribution conjointe donnée par le tableau :

Trouvez le coefficient de corrélation.

La solution. Tout d'abord, on calcule Mxh=0.3-0.2-0.1+0.4=0.4. Ensuite, nous trouvons des lois de distribution particulières pour x et h :

On définit Mx=0,5-0,5=0 ; Mh=0,6-0,4=0,2 ; Dx=1 ; Dh=1–0,22=0,96 ; cov(x,h)=0.4. On a

.

Tâche 9. Des augmentations aléatoires des prix des actions de deux sociétés par jour ont des dispersions Dx=1 et Dh=2, et leur coefficient de corrélation est r=0,7. Trouvez la variance de l'augmentation du prix d'un portefeuille de 5 actions de la première société et de 3 actions de la deuxième société.

La solution. En utilisant les propriétés de variance, de covariance et la définition du coefficient de corrélation, on obtient :

Tâche 10 . La distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle est donnée par le tableau :

Trouvez la distribution conditionnelle et l'espérance conditionnelle h pour x=1.

La solution. L'espérance conditionnelle est

A partir de la condition du problème, on trouve la distribution des composantes h et x (la dernière colonne et la dernière ligne du tableau).