Matematinių modelių pavyzdžiai technologijų pristatyme. Pamokos „matematinių modelių sudarymas“ pristatymas. Klasifikavimas pagal naudojamų parametrų rinkinių tipą

Matematinio modeliavimo pagrindai

S.V. Zvonarevas
Matematikos pagrindai
modeliavimas
Paskaita Nr. 2. Matematiniai modeliai ir jų klasifikacijos
Jekaterinburgas
2012

Paskaitos tikslas

Apibrėžkite matematinio modelio sąvoką.
Ištirti apibendrintą matematinį modelį.
Apsvarstykite klasifikaciją matematiniai modeliai.
2 Matematinis modelis.
Apibendrintas matematinis modelis.
.
Matematinio modelio atitikimo objektui laipsnis.
Matematinių modelių klasifikacija.
3

Matematinis modelis

MATEMATINIS MODELIS
4

Matematinis modelis

Matematinis modelis yra lygčių rinkinys
ar kitus matematinius ryšius, atspindinčius pagrindinius
tiriamo objekto ar reiškinio savybės priimtų rėmuose
spekuliatyvus
fizinis
modeliai
ir
ypatumus
jo
sąveika su aplinka.
Pagrindinės matematinių modelių savybės:
adekvatumas;
paprastumas.
Matematinio modelio formulavimo procesas vadinamas
užduoties nustatymas.
Matematinis modelis yra matematinis analogas
suprojektuotas objektas. Jo objekto adekvatumo laipsnis
lemia problemos sprendimų formulavimas ir teisingumas
dizainas.
5

Matematinis modeliavimas

Techninio objekto matematinis modelis -
matematinių lygčių ir ryšių rinkinys
tarp jų, kas tinkamai atspindi savybes
tiriamo objekto, dominančio tyrėją
(inžinierius).
Matematinis modeliavimas yra idealus
mokslinis simbolinis formalus modeliavimas, kuriame
objekto aprašymas atliekamas matematikos kalba, ir
modelio tyrimas atliekamas naudojant tuos arba
kiti matematiniai metodai.
Daugelio funkcijos ekstremumo radimo metodai
kintamieji su skirtingais apribojimais dažnai
paskambino
metodus
matematinės
programavimas.
6

Apibendrintas matematinis modelis

Apibendrinto matematinio modelio elementai:
įvesties duomenų (kintamųjų) rinkinys X,Y;
matematinis operatorius L;
išvesties duomenų (kintamųjų) rinkinys G(X,Y).
7

Įvesties duomenys

X yra kintamųjų kintamųjų rinkinys, kuris
sudaro kintamųjų parametrų Rx erdvę
(paieškos erdvė), kuri yra metrinė su
matmuo
n,
lygus
numerį
kintamasis
parametrus.
Y yra nepriklausomų kintamųjų (konstantų) rinkinys,
kuri sudaro metrinę įvesties erdvę
Ry duomenys. Kai kiekvienas komponentas
erdvė Ry pateikiama pagal galimų diapazoną
vertybes,
krūva
nepriklausomas
kintamieji
rodomas
kai kurie
ribotas
erdvės Ry poerdvė.
8

Nepriklausomi kintamieji Y

Jie apibrėžia aplinką objekto funkcionavimui, t.y.
išorės
sąlygos,
in
kurios
valios
dirbti
suprojektuotas objektas. Tai gali būti:
objekto techniniai parametrai, kuriems netaikomi
projektavimo proceso pasikeitimas;
fizinis
aplinkos trikdžiai,
dizaino objektas sąveikauja;
su
kurios
taktiniai parametrai, kuriuos reikia pasiekti
dizaino objektas.
9

Matematikos operatorius ir išvestis

Matematinis operatorius L yra visa sistema
matematiniai veiksmai, apibūdinantys skaitinius arba
loginius ryšius tarp įvesties aibių ir
išvesties duomenis (kintamuosius). Jis apibrėžia
operacijos su įvesties duomenimis.
Išvesties duomenų rinkinys (kintamieji) G(X,Y)
yra kriterinių funkcijų rinkinys,
įskaitant (jei reikia) tikslo funkciją.
Nagrinėjamo apibendrinto modelio išvesties duomenys
sudaryti metrinę kriterijų erdvę
RG rodikliai.
10

Matematinių modelių netiesiškumas

Matematinių modelių netiesiškumas
‒ principo pažeidimas
superpozicijos, t.y. kai bet koks tiesinis sprendinių derinys nėra
yra problemos sprendimas. Taigi žinios apie detalės elgesį
objektas dar negarantuoja žinių apie viso objekto elgesį.
Dauguma
tikras
procesus
ir
Aktualus
juos
matematiniai modeliai nėra tiesiniai. Tiesiniai modeliai yra atsakingi
labai ypatingais atvejais ir, kaip taisyklė, tarnauja tik pirmajam
artėjant prie tikrovės.
Pavyzdys – populiacijos modeliai iš karto tampa nelinijiniai,
jei atsižvelgsime į ribotą turimą populiaciją
išteklių.
11

Matematinių modelių atitikimo objektui laipsnis

Sunkumai:
Matematinis modelis niekada nėra identiškas
aptariamas objektas ir neperteikia visų jo savybių ir
funkcijos.
Matematinis modelis yra apytikslis aprašymas
objektas ir visada yra apytikslis.
Sutapimo tikslumą lemia atitikimo laipsnis,
modelio ir objekto adekvatumas. Būdai:
Eksperimento (praktikos) naudojimas modeliams palyginti ir
pasirenkant tinkamiausią.
Matematinių modelių unifikavimas dėl aibių kaupimo
baigti modeliai.
Gatavų modelių perkėlimas iš vieno proceso į kitą,
identiškas, panašus.
Naudojant minimalų apytikslių skaičių ir apskaitą
trikdančių poveikių.
12

Matematinių modelių klasifikacija

KLASIFIKACIJA
MATEMATINIAI MODELIAI
13

Matematinių modelių klasės

Matematiniai modeliai skirstomi į klases
priklausomai nuo:
modeliuojamo objekto sudėtingumas;
modelio operatorius;
įvesties ir išvesties parametrai;
modeliavimo tikslai;
modelio tyrimo metodas;
tyrimo objektai;
modelio priklausymas hierarchiniam lygiui
objektų aprašymai;
rodomų savybių pobūdis;
skaičiavimo tvarka;
proceso valdymo naudojimas.
14

Klasifikavimas pagal objekto sudėtingumą

AT
paprastas
modeliai
adresu
modeliavimas
ne
laikomas vidinė struktūra objektas, ne
išsiskirti
sudedamųjų dalių
jo
elementai
arba
subprocesų.
Objektų sistema yra atitinkamai sudėtingesnė sistema,
kuri yra tarpusavyje susijusių
elementai, atskirti nuo aplinką ir
sąveikauja su juo kaip visuma.
15

Klasifikacija pagal modelio operatorių

matematinės
modelis
paskambino
linijinis, jei operatorius numato
linijinis
priklausomybė
savaitgalis
parametrus
iš
vertybes
įvestis
parametrus.
matematinės
modelis
paskambino
nelinijinis, jei operatorius numato
nelinijinis
priklausomybė
savaitgalis
parametrus
iš
vertybes
įvestis
parametrus.
Matematinis modelis yra paprastas, jei modelio operatorius yra
algebrinė
išraiška,
atspindintis
funkcinis
išvesties parametrų priklausomybė nuo įvesties.
Modelis, apimantis diferencialo ir integralo sistemas
santykiai vadinami kompleksiniais.
Modelis vadinamas algoritminiu, kai jį galima sukurti
koks nors objekto elgesio ir savybių imitatorius, naudojant algoritmą.
16

Klasifikavimas pagal įvesties ir išvesties parametrus

17

Klasifikacija pagal modeliuojamo proceso pobūdį

deterministinis,
kurios
atitikti
deterministiniai procesai, kurie turi griežtai
nedviprasmiškas ryšys tarp fizikinių dydžių,
charakterizuojantys sistemos būseną bet kurioje
momentas
laikas.
deterministinis
modelis
leidžia vienareikšmiškai apskaičiuoti ir numatyti
išvesties verčių reikšmės pagal įvesties reikšmes
parametrus ir valdymo veiksmus.
Neapibrėžta, kuri atsiranda dėl to, kad
pasikeičia apibrėžiantys dydžiai
atsitiktinai ir išvesties kiekių reikšmes
yra tikimybinis atitikmuo su įvestimi
kiekiai ir nėra vienareikšmiškai nustatyti.
18

Neapibrėžti modeliai

Stochastinė - visų arba atskirų parametrų reikšmės
modeliai nustatomi pagal pateiktus atsitiktinius dydžius
tikimybių tankiai.
Atsitiktinė - visų arba atskirų modelio parametrų reikšmės
nustatomi atsitiktiniais dydžiais, pateiktais įverčiais
tikimybių tankiai, gauti kaip apdorojimo rezultatas
ribotas eksperimentinis šių parametrų pavyzdys.
Intervalas - visų arba atskirų parametrų reikšmės
modeliai aprašomi intervalų reikšmėmis, pateiktomis
intervalas, kurį sudaro minimumas ir maksimumas
galimos parametro reikšmės.
Fuzzy - visų arba atskirų modelio parametrų reikšmės
aprašomos atitinkamos narystės funkcijomis
neaiškus rinkinys.
19

Klasifikacija atsižvelgiant į erdvės matmenis

Vienmatis.
Dvimatis.
Trimatis.
Šis skirstymas taikomas modeliams, įskaitant
parametrus
kurios
yra įtraukti
koordinates
erdvė.
20

Klasifikacija laiko atžvilgiu

Statinis. Jei sistemos būsena nėra

statinis. Statinis modeliavimas
padeda apibūdinti objekto būseną
fiksuotas laiko taškas.
Dinamiškas. Jei sistemos būsena
kinta laikui bėgant, tada modeliai vadinami
dinamiškas. Dinaminis modeliavimas
padeda laiku ištirti objektą.
21

Klasifikavimas pagal naudojamų parametrų rinkinių tipą

Kokybė.
Kiekybinis.
Diskretus.
Nuolatinis.
Mišrus.
22

Klasifikavimas pagal modeliavimo tikslus

Aprašomasis. Tokių modelių tikslas – nustatyti įstatymus
modelio parametrų keitimas. Pavyzdys yra raketos judėjimo modelis po to
paleisti nuo žemės paviršiaus.
Optimizavimas. Tokie modeliai skirti nustatyti
parametrai optimalūs tam tikro kriterijaus požiūriu
imituojamo objekto arba rasti optimalų režimą
kai kurių procesų valdymas. Tokio modelio pavyzdys yra
tarnauja kaip raketos paleidimo iš Žemės paviršiaus proceso modeliavimas
tikslas pakelti jį į nurodytą aukštį per minimalų laiką.
Vadovaujantis. Tokie modeliai naudojami siekiant efektyvumo
valdymo sprendimai įvairiose srityse tikslingas
23
žmogaus veikla.

Klasifikavimas pagal įgyvendinimo būdą

Analitinis. Analizės metodai yra patogesni
vėlesnės rezultatų analizės, tačiau taikomos tik
palyginti paprasti modeliai. Jei matematinė
problema priima analitinį sprendimą, tada ji svarstoma
pirmenybė teikiama skaitiniams.
Algoritminis. Algoritminiai metodai sumažinami iki
kai kurie
algoritmas
įgyvendinant
kompiuterija
24
eksperimentas naudojant kompiuterį.

Klasifikacija pagal tyrimo objektus

Objektai su dideliu informacijos laipsniu. jei vyksta
modeliavimas, žinomos visos lygčių sistemos,
aprašantys visus modeliuojamo proceso aspektus ir viskas
šių lygčių parametrų skaitinės reikšmės.
Objektai, kurių informacijos lygis nulinis. Matematinė
tokio objekto modelis pastatytas remiantis statistiniais
eksperimentiniai duomenys.
Objektai, kurių pagrindiniai dėsningumai žinomi.
Konstantų reikšmės matematinėse aprašymo lygtyse
modeliai sukurti iš patirties.
Objektai, kurių elgesys yra žinomas
empirinis pobūdis. Jie naudoja metodus
fizinis modeliavimas naudojant matematinį metodą
eksperimento planavimas.
25

Klasifikavimas pagal modelį, priklausantį objekto aprašymo hierarchiniam lygiui

Mikro lygis
(būdinga
procesus
yra
masės perkėlimas,
termofizinis,
hidrodinaminis).
Modeliavimas
atliko
in
tikslai
sintezė
technologinis procesas vienam ar keliems
agregatai.
Makro lygis. Procesų modeliavimas naudojant daugiau
aukštas agregavimo lygis; Sintezei naudojami modeliai
dabartinis proceso valdymas vienam
vienetas ar technologinis kompleksas kaip visuma.
Metalo lygis. Procesų modeliavimas agregate
agregatai ir jungiantys juos medžiagas ir energiją
srautai. Tokie modeliai yra skirti technologinei sintezei
kompleksas kaip visuma, tai yra kontrolės sintezei
plėtra.
26

Klasifikavimas pagal rodomų modelio savybių pobūdį

Funkcinis
modeliai.
Yra naudojami,
dėl
aprašymai
metu vykstantys fiziniai ir informaciniai procesai
objekto funkcionavimas.
Struktūrinis
modeliai.
Apibūdinti
junginys
ir
tarpusavio ryšiai
sistemos elementai (procesas, objektas).
27

Klasifikavimas pagal skaičiavimo tvarką

Tiesioginis. Naudojamas kinetikai nustatyti,
statiniai ir dinaminiai procesų modeliai.
Atvirkščiai
(inversija).
Yra naudojami
dėl
nustatant įvesties parametrų reikšmę ar kt
nurodytos perdirbtų medžiagų savybės arba
produktus, taip pat nustatyti priimtinus
apdorojimo režimų nukrypimai (optimizavimo problemos
procesai ir įrenginio parametrai).
Indukcinis.
Taikyti
dėl
paaiškinimų
matematinės kinetikos, statikos lygtys arba
proceso dinamika naudojant naujas hipotezes arba
teorijos.
28

Klasifikavimas naudojant proceso valdymą

Prognozuojami modeliai arba skaičiavimo modeliai be kontrolės.
Pagrindinis šių modelių tikslas yra numatyti elgesį
sistemos laike ir erdvėje, žinant pradinę būseną
ir informaciją apie jos elgesį pasienyje. Pavyzdžiai – modeliai
šilumos paskirstymas, elektrinis laukas, chemija
kinetika, hidrodinamika.
optimizavimo modelius.
– Stacionarūs modeliai. Naudojamas dizaino lygiu
įvairių
technologinės
sistemos.
Pavyzdžiai
‒
deterministiniai uždaviniai, visi įvesties informacija kuriame
yra visiškai apibrėžiamas.
– Nestacionarus
modeliai.
Yra naudojami
ant
lygiu
dizainas ir, daugiausia, optimalus
įvairių procesų valdymas – technologinis,
ekonominiai ir tt Šiose problemose kai kurie parametrai yra
atsitiktinis arba turi neapibrėžtumo elementą.
29 Hipotezė.
Fenomenologinis modelis.
Aproksimacija.
Supaprastinimas.
euristinis modelis.
Analogija.
Minties eksperimentas.
Galimybės demonstravimas.
30

Hipotezė

Šie modeliai yra bandomieji
reiškinio aprašymas. Jei toks modelis yra pastatytas, tada
tai reiškia, kad ji laikinai pripažįstama tiesa
ir galite sutelkti dėmesį į kitus klausimus.
Tačiau tai negali būti tyrimo esmė, ir
tik laikina pauzė: modelio būsena gali būti
tik laikina.
Pavyzdžiai:
Modelis saulės sistema pagal Ptolemėjų.
Koperniko modelis (patobulintas Keplerio).
Rutherfordo atomo modelis.
Didžiojo sprogimo modelis.
ir kt.
31

Fenomenologinis modelis

Šiame modelyje yra reiškinio apibūdinimo mechanizmas.
Tačiau šis mechanizmas nėra pakankamai įtikinamas ir negali būti
patvirtinta turimais duomenimis arba menkai atitinka
turimos teorijos ir sukauptos žinios apie objektą.
Todėl fenomenologiniai modeliai turi laikino statusą
sprendimus. Modelio vaidmuo tyrime gali keistis
laikui bėgant gali atsitikti taip, kad nauji duomenys ir teorijos
patvirtinti fenomenologinius modelius ir jie bus atnaujinti iki
hipotezės būsena. Taip pat palaipsniui gali atsirasti naujų žinių
konfliktuoti su modeliais-hipotezėmis pirmojo tipo ir tų
galima išversti į antrą.
Pavyzdžiai:
Kaloringumo modelis.
Elementariųjų dalelių kvarko modelis.
ir kt.
32

Aproksimacija

Įprasta praktika, kai negali
spręsti lygtis net kompiuterio pagalba,
aprašantys tiriamą sistemą – naudojimą
apytiksliai. Lygtys pakeičiamos tiesinėmis.
Standartinis pavyzdys yra Omo dėsnis.
33

Supaprastinimas

Šis modelis išmeta dalis, kurios
gali pastebimai ir ne visada kontroliuojamai paveikti
rezultatas.
Pavyzdžiai:
Idealiųjų dujų modelio taikymas neidealioms.
Van der Waals būsenos lygtis.
Dauguma kietojo kūno fizikos modelių,
skysčiai ir branduolinė fizika. Kelias nuo mikroaprašymo iki
kūnų (arba terpių), susidedančių iš didelio skaičiaus, savybės
dalelės, labai ilgi. Daugelis turi būti išmesti
detales.
34

euristinis modelis

Euristinis modelis išsaugo tik kokybinį
tikrovės panašumą ir teikia prognozes tik „pagal
dydžio tvarka“.
Jame pateikiamos paprastos koeficientų formulės
klampumas, difuzija, šilumos laidumas, nuoseklus
su tikrove pagal dydį. Bet pas
naujos fizikos konstravimas toli gražu ne iš karto gaunamas
modelis, suteikiantis bent kokybinį objekto aprašymą.
Tipiškas pavyzdys yra vidutinio ilgio aproksimacija
laisvas kelias kinetikos teorijoje.
35

Analogija

Tai
modelis
pirmą kartą
iškilo,
kada
Išbandyta sąveika neutronų-protonų sistemoje
paaiškinti per atomo sąveiką
vandenilis su protonu. Ši analogija paskatino
išvada, kad turi būti mainai
neutrono ir protono sąveikos jėgos,
dėl elektrono perėjimo tarp dviejų
protonų.
36

Mintinis eksperimentas ir galimybių demonstravimas

Minties eksperimentas yra samprotavimas
kurios galiausiai sukelia prieštaravimą.
Galimybės demonstravimas taip pat yra protinis
eksperimentai
su
įsivaizdavo
subjektai
demonstruoja,
ką
tariamas
reiškinys
laikantis pagrindinių principų ir viduje
nuoseklus. Vienas garsiausių iš jų
eksperimentai – Lobačevskio geometrija.
37

Išvada ir išvados

Nagrinėjama matematinio modelio samprata.
Ištirtas apibendrintas matematinis modelis.
Apibrėžiamos sąvokos: matematinių modelių netiesiškumas ir laipsnis
matematinio modelio atitikimas objektui.
Pateikiama matematinių modelių klasifikacija.
38 Samarsky, A.A. Matematinis modeliavimas / A.A. Samara,
A.P. Michailovas. – M.: Mokslas. „Fizmatlit“, 1997 m.
Tarasevičius, N. N. Matematinis ir kompiuterinis modeliavimas.
Įvadinis kursas / N.N. Tarasevičius. – M.: Redakcija URSS, 2001.
Įvadas į matematinį modeliavimą: Uch. pašalpa / pagal
redagavo P.V. Trusova. – M.: Universiteto knyga, Logos, 2007. –
440 s.

skaidrė 3

Matematinis modeliavimas

tai apytikslis tam tikros klasės reiškinių aprašymas, išreikštas kai kurių kalba matematinė teorija(naudojant algebrinių lygčių ir nelygybių sistemą, diferencialines arba integralines lygtis, funkcijas, geometrinių sakinių sistemą, vektorius ir kt.).

skaidrė 4

Modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija Formali modelių klasifikacija grindžiama naudojamų matematinių priemonių klasifikacija. Dažnai statomas dichotomijų pavidalu. Pavyzdžiui, vienas iš populiarių dichotomijų rinkinių: Linijiniai arba nelinijiniai modeliai[; Koncentruotos arba paskirstytos sistemos; Deterministinis arba stochastinis; Statinis arba dinaminis; diskretiškas arba tęstinis. ir tt Kiekvienas sukonstruotas modelis yra tiesinis arba nelinijinis, deterministinis arba stochastinis,... Natūralu, kad galimi ir mišrūs tipai: koncentruoti vienu požiūriu (parametrų atžvilgiu), paskirstyti modeliai kitu ir t.t.

skaidrė 5

Klasifikacija pagal objekto vaizdavimo būdą Struktūriniai arba funkciniai modeliai Struktūriniai modeliai vaizduoja objektą kaip sistemą su savo įrenginiu ir veikimo mechanizmu. Funkciniai modeliai nenaudoja tokių reprezentacijų ir atspindi tik išoriškai suvokiamą objekto elgesį (funkciją). Kraštutine išraiška jie dar vadinami „juodosios dėžės“ modeliais. Taip pat galima kombinuoti tipai modeliai, kartais vadinami pilkų dėžučių modeliais.

skaidrė 6

Prasmingi ir formalūs modeliai Beveik visi matematinio modeliavimo procesą aprašantys autoriai nurodo, kad pirmiausia sukuriama ypatinga ideali konstrukcija, prasmingas modelis. O galutinė matematinė konstrukcija vadinama formaliuoju modeliu arba tiesiog matematiniu modeliu, gautu formalizavus šį turinio modelį. Prasmingo modelio konstravimas gali būti atliekamas naudojant paruoštų idealizacijų rinkinį, tai yra, jie pateikia paruoštus konstrukcinius elementus prasmingam modeliavimui.

7 skaidrė

8 skaidrė

1 tipas: hipotezė (tai gali būti)

Šie modeliai „atspindi bandomąjį reiškinio aprašymą, o autorius arba tiki jo galimybe, arba net mano, kad tai tiesa“. Nė viena mokslo hipotezė negali būti įrodyta kartą ir visiems laikams. Richardas Feynmanas tai suformulavo labai aiškiai: Jei yra sukurtas pirmojo tipo modelis, tai reiškia, kad jis laikinai pripažįstamas tikru ir galima susikoncentruoti ties kitomis problemomis. Tačiau tai negali būti tyrimo taškas, o tik laikina pauzė: pirmojo tipo modelio būsena gali būti tik laikina.

9 skaidrė

2 tipas: fenomenologinis modelis (elkis taip, lyg...)

Fenomenologiniai modeliai turi laikinų sprendimų statusą. Manoma, kad atsakymas vis dar nežinomas ir reikia tęsti „tikrųjų mechanizmų“ paieškas. Modelio vaidmuo tyrime laikui bėgant gali keistis, gali atsitikti taip, kad nauji duomenys ir teorijos patvirtina fenomenologinius modelius ir jie tampa hipotezės statusu. Taip pat naujos žinios pamažu gali konfliktuoti su pirmojo tipo modeliais-hipotezėmis ir gali būti perkeltos į antrąjį.

10 skaidrė

3 tipas: apytikslis (apsvarstykite ką nors labai didelio arba labai mažo)

Jei įmanoma sukonstruoti lygtis, apibūdinančias tiriamą sistemą, tai dar nereiškia, kad jas galima išspręsti net ir kompiuterio pagalba. Šiuo atveju įprasta naudoti aproksimacijas (3 tipo modeliai). Tarp jų yra linijinio atsako modeliai. Lygtys pakeičiamos tiesinėmis.

skaidrė 11

4 tipas: supaprastinti (praleidžiant kai kurias detales aiškumo dėlei)

4 tipo modelyje atmetamos detalės, kurios gali pastebimai ir ne visada kontroliuojamai paveikti rezultatą. Tos pačios lygtys gali būti naudojamos kaip 3 tipo (apytikslis) arba 4 (kai kurias detales praleidžiame aiškumo dėlei) modelis – tai priklauso nuo reiškinio, kuriam tirti naudojamas modelis. Taigi, jei linijiniai atsako modeliai naudojami nesant sudėtingesnių modelių, tai jau yra fenomenologiniai linijiniai modeliai.

skaidrė 12

5 tipas: euristinis modelis (be kiekybinio patvirtinimo, bet modelis suteikia įžvalgos)

Euristinis modelis išlaiko tik kokybinį panašumą į tikrovę ir prognozuoja tik „didumo tvarka“. Jame pateikiamos paprastos klampos, difuzijos, šilumos laidumo koeficientų formulės, atitinkančios tikrovę pagal dydį.

skaidrė 13

6 tipas: analogija (atsižvelgsime tik į kai kurias funkcijas)

Santykių panašumas, lygybė; objektų, reiškinių, procesų, kiekių ... panašumas bet kokiomis savybėmis, taip pat žiniomis, atsižvelgiant tik į kai kuriuos požymius.

14 skaidrė

7 tipas: minties eksperimentas (svarbiausia paneigti galimybę)

peržiūrėti pažintinė veikla, kuriame pagrindinė konkrečios mokslinės teorijos situacija yra suvaidinta ne realiame eksperimente, o vaizduotėje. Kai kuriais atvejais minties eksperimentas atskleidžia prieštaravimus tarp teorijos ir „įprastos sąmonės“, o tai ne visada įrodo teorijos netikslumą.

skaidrė 15

8 tipas: galimybės demonstravimas (svarbiausia parodyti vidinį galimybės nuoseklumą)

Tai taip pat minties eksperimentai su įsivaizduojamomis esybėmis, parodantys, kad tariamas reiškinys atitinka pagrindinius principus ir yra nuoseklus viduje. Tai yra pagrindinis skirtumas nuo 7 tipo modelių, kurie atskleidžia paslėptus prieštaravimus. Esminė klasifikacija grindžiama etapais prieš matematinę analizę ir skaičiavimus. Aštuoni modelių tipai pagal R. Peierlsą yra aštuoni modeliavimo tyrimo pozicijų tipai.

skaidrė 16

Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai

1. Modelio kūrimas. Šiame etape nurodomas koks nors „nematematinis“ objektas – gamtos reiškinys, struktūra, ekonominis planas, gamybos procesas ir tt Tuo pačiu metu, kaip taisyklė, sunku aiškiai aprašyti situaciją. Pirmiausia nustatomi pagrindiniai reiškinio bruožai ir jų tarpusavio ryšys kokybiniu lygmeniu. Tada rastos kokybinės priklausomybės formuluojamos matematikos kalba, tai yra sudaromas matematinis modelis. Tai pati sunkiausia modeliavimo dalis.

17 skaidrė

2. Sprendimas matematinė problema, į kurią veda modelis. Šioje stadijoje didelis dėmesys skiriamas uždavinio sprendimo kompiuteriu algoritmų ir skaitinių metodų kūrimui, kurių pagalba galima reikiamu tikslumu ir per priimtiną laiką rasti rezultatą. 3. Gautų pasekmių iš matematinio modelio interpretavimas. Iš modelio išvestos pasekmės matematikos kalba interpretuojamos šioje srityje priimta kalba.

18 skaidrė

4. Modelio tinkamumo tikrinimas. Šiame etape išsiaiškinama, ar eksperimento rezultatai tam tikru tikslumu sutampa su teorinėmis modelio pasekmėmis. 5. Modelio modifikavimas. Šiame etape modelis arba tampa sudėtingesnis, kad labiau atitiktų tikrovę, arba supaprastinamas, kad būtų pasiektas praktiškai priimtinas sprendimas.

19 skaidrė

Tokiu atveju turi būti laikomasi šių reikalavimų:

modelis turi adekvačiai atspindėti esmines (tam tikros problemos teigimo požiūriu) objekto savybes, abstrahuojantis nuo neesminių jo savybių; modelis turėtų turėti tam tikrą taikymo sritį dėl jo kūrimo prielaidų; modelis turėtų leisti įgyti naujų žinių apie tiriamą objektą.

20 skaidrė

AČIŪ UŽ DĖMESĮ

Peržiūrėkite visas skaidres

Objektas (transportavimo procesas)

Praktiška

Dizaino schema

Matematinis modelis

matematinis modelis

Algoritmas

Programa

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 11

Pirmajame matematinio modeliavimo etape atliekamas perėjimas nuo modeliavimo objekto prie skaičiavimo schemos. Projektavimo schema yra prasmingas ir (arba) konceptualus objekto modelis. Pvz.: prekių pervežimo planas, maršruto žemėlapis, transporto lentelė ir kt.

Antrajame etape atliekama paieška ir formalizuotas projektavimo schemos proceso (procesų) aprašymas matematiniu modeliu.

Trečiajame etape kokybiniai ir kiekybinė analizė matematinis modelis, apimantis: 1) supaprastinimą, 2) prieštaravimų sprendimą, 3) korekciją.

Ketvirtajame etape sukuriamas efektyvus matematinio modeliavimo algoritmas, pagal kurį penktajame etape sukuriama matematinio modeliavimo įgyvendinimo programa.

Šeštame etape naudojant programą gaunamos praktinės rekomendacijos. Praktinės rekomendacijos yra matematinio modelio panaudojimo konkrečiam tikslui tiriant objektą (transportavimo procesą) rezultatas.

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 12

Matematinio modeliavimo tikslai: 1) transporto procesų modelių kūrimas tolesniam optimalių (laiko, sąnaudų) transporto procesų projektavimui; 2) atskirų transporto procesų savybių analizė, siekiant įvertinti laiką ir sąnaudas.

Matematinio modeliavimo rūšys

	Parametrinis						modeliavimas
							modeliavimas
statinis			dinamiškas
						Stacionarus				nestacionarus

Parametrinis modeliavimas – tai modeliavimas be griežto ryšio su objektu ir procesu. Ryšys vykdomas tik pagal parametrus, pavyzdžiui: masė, ilgis, slėgis ir kt. Yra abstrakcijos: materialusis taškas, idealios dujos ir kt.

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 13

Statiniai parametriniai modeliai neturi "laiko" parametro ir leidžia gauti pusiausvyros sistemos charakteristikas. Dinaminiai parametriniai modeliai turi laiko parametrą ir leidžia suprasti sistemos pereinamųjų procesų pobūdį.

Modeliavimas(Simuliacija) – matematinis modeliavimas, atsižvelgiant į modeliuojamo objekto geometrines ypatybes (dydį, formą), taip pat tankio pasiskirstymą, atsižvelgiant į pradines ir ribines sąlygas (sąlygas objekto geometrijos ribose) į objektus.

procesus

Programos algoritmas

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 14

Stacionarus modeliavimas leidžia gauti objekto charakteristikas laiko intervale, linkusiu į nulį, tai yra „nufotografuoti“ objekto charakteristikas. Nestacionarus modeliavimas leidžia gauti objekto charakteristikas laikui bėgant.

Matematinio modelio struktūra

Įvesties parametrai	lygtys,	išvesties parametrai
	priklausomybės ir kt.

Matematinio modelio savybės:

1) Išbaigtumas – žinomų objekto savybių atspindžio laipsnis; 2) Tikslumas - realių (eksperimentinių) ir charakteristikų, rastų naudojant modelį, sutapimo tvarka;

3) Tinkamumas yra modelio gebėjimas aprašyti išvesties parametrus fiksuotu fiksuotų įvesties parametrų tikslumu (tinkamumo sritis).

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 15

4) Pelningumas – tai skaičiavimo išteklių, norint gauti rezultatą, įvertinimas, lyginant su panašiu matematiniu modeliu;

5) Tvirtumas – matematinio modelio stabilumas pradinių duomenų paklaidų atžvilgiu (pavyzdžiui, duomenys neatitinka proceso fizikos);

6) Produktyvumas – tai įvesties duomenų tikslumo įtaka modelio išvesties duomenų tikslumui;

7) Modelio aiškumas ir paprastumas.

Matematiniai modeliai (pagal gavimo būdą)

Empirinis teorinis

Pusiau empirinis © FGBOU VPO USATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 16

Empiriniai matematiniai modeliai gaunami apdorojant ir analizuojant eksperimentinių duomenų rezultatus. Identifikavimas yra esamo matematinio modelio taisymas empiriniais duomenimis.

Teoriniai matematiniai modeliai gaunami taikant teorinius metodus – analizę, sintezę, indukciją, dedukciją ir kt.

Literatūra apie matematinio modeliavimo teoriją ir matematinius modelius:

1) Zarubinas V. S. Matematinis modeliavimas technologijose: vadovėlis. universitetams / V. S. Zarubinas. - 3 leidimas. - M .: MSTU leidykla im. N.E. Baumanas. 2010. - 495 p.

2) Čerepaškovas A. A., Nosovas N. V. Kompiuterinės technologijos, modeliavimas ir automatizuotos sistemos mechanikos inžinerijoje: Vadovėlis. už stud. aukštesnė edukacinis įstaigose. - Volgogradas: leidykla "In-folio", 2009. - 640 p.

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 17

4. Mathcad kaip taikomųjų programų programavimo įrankis

Mathcad – tai kompiuterinio projektavimo sistemų klasės kompiuterinė algebros sistema, orientuota į interaktyvių dokumentų su skaičiavimais ir vizualiu palaikymu rengimą, paprasta naudoti ir pritaikyti.

„Mathcad“ sumanė ir iš pradžių parašė Allenas Razdovas iš Masačusetso technologijos instituto.

Kūrėjas: PTC. Pirmas leidimas: 1986 m.

Diferencialinių ir algebrinių lygčių sprendimas skaitiniu būdu
metodai;
Dvimačių ir trimačių funkcijų grafikų sudarymas;
Graikų abėcėlės naudojimas;
Skaičiavimų atlikimas simboline forma;
Jūsų programavimo kalbos palaikymas
© FGBOU VPO UGATU; kavinė "Taikomoji hidromechanika"

Skaitmeninės funkcijos skirtos lygčių šaknims apskaičiuoti skaitiniais taikomosios matematikos metodais, spręsti optimizavimo uždavinius, spręsti diferencialines lygtis Runge-Kutta metodu ir kt.

Simbolinės funkcijos skirti analitiniams skaičiavimams, kurie savo struktūra yra panašūs į klasikines matematines transformacijas.

TOL sistemos kintamasis – skaičiavimo tolerancija (numatytasis 10-3).

Diapazono kintamųjų su fiksuotu žingsniu nustatymas: x:=0, 0+0.01..10.

Jei kintamasis yra masyvas, masyvo elementą galite pasiekti įvesdami indeksą klavišu [.

© FGBOU VPO UGATU; kavinė „Taikomoji hidromechanika“ 20

Literatūra 1. Samarsky A. A., Michailov A. P. Matematinis modeliavimas: idėjos. Metodai. Pavyzdžiai - M.: Nauka, Volkovas E. A. Skaitiniai metodai. - M.: Nauka, Turchak L. I. Skaitinių metodų pagrindai. - M.: Mokslas, Kopchenova N. V., Maron I. A. Skaičiavimo matematika pavyzdžiuose ir uždaviniuose. – M.: Nauka, 1972 m.

Šiek tiek istorijos nuo manipuliavimo objektais iki manipuliavimo sąvokomis apie objektus tiriamo objekto, proceso ar reiškinio pakeitimas paprastesniu ir prieinamesniu atitikmeniu tyrimams nesugebėjimas atsižvelgti į visą veiksnių, lemiančių savybes ir elgesį, rinkinį. objekto

Modelių vaidmuo Pastatas bjaurus, trapus arba netelpa į aplinkinį kraštovaizdį Kraujotakos sistemų demonstravimas gamtoje nežmoniškas Įtampos, pavyzdžiui, sparnuose, gali būti per didelės Neekonomiška surinkti elektros grandines matavimams

Modelio bendravimas su originalu Modelio kūrimas apima kai kurių originalo savybių išsaugojimą, ir skirtingi modeliaišios savybės gali būti skirtingos. Kartoninis pastatas yra daug mažesnis už tikrąjį, tačiau leidžia spręsti apie jį išvaizda; plakatas leidžia suprasti kraujotakos sistemą, nors jis neturi nieko bendra su organais ir audiniais; lėktuvo modelis neskraido, tačiau jo korpuse esančios įtampos atitinka skrydžio sąlygas.

Kodėl naudojami modeliai? 1. Modelis yra labiau prieinamas tyrimams nei realus objektas, 2. Modelį lengviau ir pigiau tirti nei realius objektus, 3. Kai kurių objektų negalima tirti tiesiogiai: kol kas negalima, pavyzdžiui, sukurti termobranduolinės sintezės prietaisas arba eksperimentuoti žvaigždžių viduje, 4. eksperimentai su praeitimi neįmanomi, eksperimentai su ekonomika ar socialiniai eksperimentai yra nepriimtini

Modelių paskyrimas 1. Modelio pagalba galima nustatyti reikšmingiausius veiksnius, formuojančius objekto savybes. Kadangi modelis atspindi tik kai kurias objekto – originalo – charakteristikas, tai variuojant šių charakteristikų aibę modelyje, galima nustatyti tam tikrų veiksnių įtakos modelio elgsenos adekvatumui laipsnį.

Modelis reikalingas: 1. Norint suprasti, kaip veikia konkretus objektas: kokia jo sandara, savybės, vystymosi ir sąveikos su supančiu pasauliu dėsniai. 2. Norint išmokti valdyti objektą ar procesą ir nustatyti geriausi būdai valdymas pagal nurodytus tikslus ir kriterijus. 3. Siekiant numatyti objekto elgseną ir įvertinti įvairių metodų ir formų poveikio objektui pasekmes (meteorologiniai modeliai, biosferos raidos modeliai).

Tinkamo modelio savybė geras modelis turi nepaprastą savybę: jo tyrimas leidžia įgyti naujų žinių apie objektą – originalą, nepaisant to, kad kuriant modelį buvo panaudotos tik kai kurios pagrindinės originalo savybės

Medžiagos modeliavimas Modelis atkuria pagrindines tiriamo objekto geometrines, fizines, dinamines ir funkcines charakteristikas, kai realus objektas lyginamas su padidinta arba sumažinta jo kopija, o tai leidžia atlikti tyrimus laboratorijoje, vėliau perkeliant tiriamo objekto savybes. procesai ir reiškiniai nuo modelio iki objekto remiantis panašumo teorija (planetariumas, pastatų ir įrenginių modeliai ir kt.). Tyrimo procesas šiuo atveju yra glaudžiai susijęs su materialine įtaka modeliui, t.y. jis susideda iš pilno masto eksperimento. Taigi medžiagų modeliavimas pagal savo pobūdį yra eksperimentinis metodas.

Idealaus modeliavimo tipai Intuityvus – objektų, kurių negalima formalizuoti arba kuriems to nereikia, modeliavimas. Gyvenimo patirtisžmogus gali būti laikomas jo intuityviu supančio pasaulio modeliu Ženklas – modeliavimas, kuris kaip modelius naudoja ženklų transformacijas skirtingos rūšies: diagramos, grafikai, brėžiniai, formulės ir kt., kuriose yra dėsnių rinkinys, pagal kurį galite dirbti su modelio elementais

Matematinis modeliavimas Objekto tyrimas atliekamas remiantis modeliu, suformuluotu matematikos kalba ir tiriamu taikant tam tikrus matematinius metodus Matematinis modeliavimas – tai mokslo sritis, nagrinėjanti gamtos reiškinių, technologijų, ekonomikos ir viešasis gyvenimas matematinio aparato pagalba ir šiuo metu šiuos modelius įgyvendinant kompiuterio pagalba

Klasifikavimo kilimėlis. modeliai Pagal paskirtį: aprašomasis optimizavimo modeliavimas Pagal lygčių pobūdį: tiesinis netiesinis Atsižvelgiant į sistemos pokyčius laikui bėgant: dinaminis statinis Pagal argumentų apibrėžimo srities savybę: nuolatinis diskretinis Pagal proceso pobūdį: deterministinis stochastinis

Matematinis modelis- tai matematinių objektų ir ryšių tarp jų rinkinys, tinkamai atspindintis tiriamo objekto savybes ir elgesį.

Matematika bendriausia prasme yra susijusi su simbolinių modelių apibrėžimu ir naudojimu. Matematinis modelis apima neapibrėžtų (abstrakčių, simbolinių) matematinių objektų, tokių kaip skaičiai ar vektoriai, klasę ir ryšius tarp šių objektų.

Matematinis ryšys yra hipotetinė taisyklė, susijusi su dviem ar daugiau simbolinių objektų. Daugelį ryšių galima apibūdinti naudojant matematines operacijas, kurios susieja vieną ar daugiau objektų su kitu objektu arba su objektų rinkiniu (operacijos rezultatas). Abstraktus modelis su savavališko pobūdžio objektais, ryšiais ir operacijomis yra apibrėžiamas nuosekliu taisyklių rinkiniu, kuris įveda operacijas, kurias galima naudoti, ir nustato bendrus ryšius tarp jų rezultatų. Konstruktyvusis apibrėžimas pristato naują matematinį modelį, naudojant jau žinomas matematines sąvokas (pavyzdžiui, matricų sudėties ir daugybos apibrėžimas skaičių sudėties ir daugybos požiūriu).

Matematinis modelis atkurs tinkamai parinktus fizinės situacijos aspektus, jei bus galima nustatyti atitikimo taisyklę, susiejančią konkrečius fizinius objektus ir ryšius su tam tikrais matematiniais objektais ir ryšiais. Taip pat gali būti naudinga ir (arba) įdomu sukurti matematinius modelius, kuriems fizinis pasaulis analogų nėra. Dažniausiai žinomi matematiniai modeliai yra sveikųjų ir realiųjų skaičių sistemos bei Euklido geometrija; apibrėžiančios šių modelių savybės yra daugiau ar mažiau tiesioginės fizikinių procesų abstrakcijos (skaičiavimas, rikiavimas, palyginimas, matavimas).

Bendresnių matematinių modelių objektai ir operacijos dažnai siejami su realiųjų skaičių rinkiniais, kuriuos galima koreliuoti su fizinių matavimų rezultatais.

Matematinis modeliavimas – tai kokybinio ir (ar) kiekybinio proceso aprašymo metodas, naudojant vadinamąjį matematinį modelį, kurio konstrukcijoje realus procesas ar reiškinys aprašomas naudojant vieną ar kitą adekvatų matematinį aparatą. Matematinis modeliavimas yra neatsiejama šiuolaikinių tyrimų dalis.

Matematinis modeliavimas yra tipiška disciplina, esanti, kaip dabar dažnai sakoma, kelių mokslų „sandūroje“. Tinkamas matematinis modelis negali būti sukurtas be gilių žinių apie objektą, kurį „tarnauja“ matematinis modelis. Kartais išreiškiama iliuzinė viltis, kad matematinį modelį kartu gali sukurti ir modeliavimo objekto nežinantis matematikas, ir matematikos nežinantis „objekto“ specialistas. Sėkmingai veiklai matematinio modeliavimo srityje būtina išmanyti tiek matematinius metodus, tiek modeliavimo objektą. Tai susiję, pavyzdžiui, su tokia specialybe kaip fizikas teorinis, kurio pagrindinė veikla yra matematinis fizikos modeliavimas. Fizikoje nusistovėjęs specialistų skirstymas į teoretikus ir eksperimentuotojus neabejotinai pasireikš ir kituose moksluose – tiek fundamentiniuose, tiek taikomuosiuose.

Dėl taikomų matematinių modelių įvairovės jų bendroji klasifikacija sunku. Literatūroje dažniausiai pateikiamos klasifikacijos, kuriomis remiantis skirtingus požiūrius. Vienas iš šių požiūrių yra susijęs su modeliuojamo proceso pobūdžiu, kai išskiriami deterministiniai ir tikimybiniai modeliai. Kartu su tokia plačiai paplitusia matematinių modelių klasifikacija yra ir kitų.

Matematinių modelių klasifikavimas pagal taikomo matematinio aparato ypatybes . Tai apima šias veisles.

Paprastai tokie modeliai naudojami iš atskirų elementų susidedančių sistemų dinamikai apibūdinti. Iš matematinės pusės tai yra įprastų tiesinių arba netiesinių diferencialinių lygčių sistemos.

Matematiniai modeliai su vienkartiniais parametrais yra plačiai naudojami apibūdinti sistemas, sudarytas iš atskirų objektų arba identiškų objektų rinkinių. Pavyzdžiui, plačiai naudojamas puslaidininkinio lazerio dinaminis modelis. Šiame modelyje atsiranda du dinaminiai kintamieji – smulkiųjų krūvininkų ir fotonų koncentracijos lazerio aktyviojoje zonoje.

Sudėtingų sistemų atveju dinaminių kintamųjų ir atitinkamai diferencialinių lygčių skaičius gali būti didelis (iki 102 ... 103). Tokiais atvejais naudingi įvairūs sistemos mažinimo metodai, pagrįsti procesų laikine hierarchija, įvertinant įvairių veiksnių įtaką ir nepaisant tarp jų nereikšmingų ir kt.

Taikant nuoseklaus modelio išplėtimo metodą galima sukurti tinkamą modelį sudėtinga sistema.

Šio tipo modeliai apibūdina difuzijos, šilumos laidumo, įvairaus pobūdžio bangų sklidimo procesus ir kt. Šie procesai gali būti ne tik fizinio pobūdžio. Matematiniai modeliai su paskirstytais parametrais plačiai naudojami biologijoje, fiziologijoje ir kituose moksluose. Dažniausiai matematinės fizikos lygtys, įskaitant ir netiesines, naudojamos kaip matematinio modelio pagrindas.

Pagrindinis didžiausio veiksmo principo vaidmuo fizikoje yra gerai žinomas. Pavyzdžiui, visos žinomos lygčių sistemos, apibūdinančios fizikinius procesus, gali būti išvestos iš ekstremalių principų. Tačiau kituose moksluose ekstremalūs principai atlieka esminį vaidmenį.

Ekstremalus principas naudojamas aproksimuojant empirines priklausomybes analitine išraiška. Tokios priklausomybės grafinis vaizdavimas ir konkreti šią priklausomybę apibūdinančios analitinės išraiškos forma nustatoma taikant ekstremalų principą, vadinamą mažiausių kvadratų metodu (Gauso metodu), kurio esmė tokia.

Tegu bus atliktas eksperimentas, kurio tikslas – ištirti kokio nors fizikinio dydžio priklausomybę Y nuo fizinio kiekio x. Daroma prielaida, kad vertybės x ir y susietos funkcine priklausomybe

Šios priklausomybės formą reikia nustatyti remiantis patirtimi. Tarkime, kad atlikdami eksperimentą gavome daugybę eksperimentinių taškų ir sukūrėme priklausomybės grafiką adresu iš X. Paprastai eksperimentiniai taškai tokiame grafike išsidėstę ne visai teisingai, suteikia tam tikrą sklaidą, t.y. atskleidžia atsitiktinius nukrypimus nuo matomo bendro modelio. Šie nukrypimai yra susiję su matavimo paklaidomis, kurios neišvengiamos atliekant bet kokį eksperimentą. Tada iškyla praktikai būdingos eksperimentinės priklausomybės išlyginimo problema.

Norėdami išspręsti šią problemą, dažniausiai naudojamas skaičiavimo metodas, žinomas kaip mažiausių kvadratų metodas (arba Gauso metodas).

Žinoma, išvardytos matematinių modelių atmainos neišsemia viso matematinio modeliavimo naudojamo matematinio aparato. Teorinės fizikos matematinis aparatas ir ypač svarbiausias jos skyrius – elementariųjų dalelių fizika – yra ypač įvairus.

Jų taikymo sritys dažnai naudojamos kaip pagrindinis matematinių modelių klasifikavimo principas. Taikant šį metodą, išskiriamos šios taikymo sritys:

fiziniai procesai;

techninės programos, įskaitant valdomas sistemas, dirbtinis intelektas;

gyvenimo procesai(biologija, fiziologija, medicina);

didelės sistemos, susijusios su žmonių sąveika (socialinė, ekonominė, aplinkosauginė);

humanitariniai mokslai (kalbotyra, menas).

(Taikymo sritys išvardytos mažėjančia tvarka pagal modelių tinkamumo lygį).

Matematinių modelių rūšys: deterministinis ir tikimybinis, teorinis ir eksperimentinis faktorialas. Linijinis ir nelinijinis, dinaminis ir statinis. tęstinis ir diskretiškas, funkcinis ir struktūrinis.

Matematinių modelių klasifikacija (TO – techninis objektas)

Modelio struktūra yra sutvarkyta elementų ir jų santykių visuma. Parametras yra reikšmė, apibūdinanti objekto savybę arba veikimo būdą. Išvesties parametrai apibūdina techninio objekto savybes, o vidiniai – jo elementų savybes. Išoriniai parametrai yra parametrai Išorinė aplinka, kuris turi įtakos techninio objekto funkcionavimui.

Matematiniams modeliams keliami adekvatumo, ekonomiškumo, universalumo reikalavimai. Šie teiginiai yra prieštaringi.

Priklausomai nuo abstrakcijos laipsnio aprašyme fizines savybes Techninėje sistemoje išskiriami trys pagrindiniai hierarchiniai lygiai: viršutinis arba meta lygis, vidurinis arba makro lygis, žemesnis arba mikro lygis.

Meta lygmuo atitinka pradinius projektavimo etapus, kuriuose atliekama mokslinė ir techninė1 paieška ir prognozavimas, koncepcijos ir techninio sprendimo kūrimas bei techninio pasiūlymo rengimas. Sukurti matematinius metalygmens modelius, morfologinės sintezės metodus, grafų teoriją, matematinę logiką, teoriją automatinis valdymas, eilių teorija, baigtinių automatų teorija.

Makrolygyje objektas laikomas dinamine sistema su grupiniais parametrais. Makrolygmens matematiniai modeliai yra įprastų diferencialinių lygčių sistemos. Šie modeliai naudojami nustatant techninio objekto ir jo funkcinių elementų parametrus.

Mikro lygiu objektas vaizduojamas kaip ištisinė terpė su paskirstytais parametrais. Tokių objektų funkcionavimo procesams apibūdinti naudojamos dalinės diferencialinės lygtys. Mikro lygmeniu projektuojami funkcinėmis charakteristikomis nedalomi techninės sistemos elementai, vadinami pagrindiniais elementais. Tuo pačiu metu bazinis elementas yra laikomas sistema, susidedančia iš panašių tos pačios fizinės prigimties funkcinių elementų, kurie sąveikauja tarpusavyje ir yra veikiami išorinės aplinkos ir kitų techninio objekto elementų, kurie yra išoriniai elementai. aplinka pagrindinio elemento atžvilgiu.

Pagal matematinių modelių vaizdavimo formą išskiriami invariantiniai, algoritminiai, analitiniai ir grafiniai dizaino objekto modeliai.

AT nekintamas forma, matematinis modelis pavaizduotas lygčių sistema, neatsižvelgiant į šių lygčių sprendimo būdą.

AT algoritminis modelių pavidalu ryšiai susiejami su pasirinktu skaitinio sprendimo būdu ir rašomi algoritmo forma – skaičiavimų seka. Algoritminiai modeliai apima imitacija, modeliai, skirti imituoti fizinius ir informacinius procesus, vykstančius objekte jo veikimo metu, veikiant įvairiems aplinkos veiksniams.

Analitinis modelis parodo aiškias norimų kintamųjų priklausomybes nuo nurodytų verčių (dažniausiai objekto išvesties parametrų priklausomybę nuo vidinių ir išorinių parametrų). Tokie modeliai gaunami remiantis fizikiniais dėsniais arba tiesiogiai integruojant pradines diferencialines lygtis. Analitiniai matematiniai modeliai leidžia lengvai ir paprastai išspręsti optimalių parametrų nustatymo problemą. Todėl, jei įmanoma gauti tokios formos modelį, visada patartina jį įgyvendinti, net jei tam reikia atlikti daugybę pagalbinių procedūrų Tokie modeliai dažniausiai gaunami eksperimentinio projektavimo būdu (skaičiuojant arba fiziškai).

Grafika(grandinės) modelis vaizduojamas grafikų, ekvivalentinių grandinių, dinaminių modelių, diagramų ir kt. Norint naudoti grafinius modelius, turi būti „vienas su vienu“ korespondencijos taisyklė sąlyginiai vaizdai grafikos elementai ir nekintamų matematinių modelių komponentai.

Matematinių modelių skirstymą į funkcinius ir struktūrinius lemia rodomų techninio objekto savybių pobūdis.

Struktūrinis modeliai rodo tik objektų struktūrą ir naudojami tik sprendžiant struktūrinės sintezės uždavinius. Konstrukcinių modelių parametrai yra funkcinių arba konstrukcinių elementų, sudarančių techninį objektą, ženklai, kuriais viena objekto struktūros versija skiriasi nuo kitos. Šie parametrai vadinami morfologiniais kintamaisiais. Struktūriniai modeliai yra lentelių, matricų ir grafikų pavidalu. Perspektyviausias yra į medį panašių AND-OR-medžio tipo grafikų naudojimas. Tokie modeliai plačiai naudojami meta lygiu renkantis techninį sprendimą.

Funkcinis modeliai apibūdina funkcionavimo procesus techniniai objektai ir turi lygčių sistemų formą. Jie atsižvelgia į objekto struktūrines ir funkcines savybes ir leidžia spręsti tiek parametrinės, tiek struktūrinės sintezės problemas. Jie plačiai naudojami visuose dizaino lygiuose. Meta lygmenyje funkcinės užduotys leidžia spręsti prognozavimo problemas, makro lygmeniu - pasirinkti techninio objekto struktūrą ir optimizuoti vidinius parametrus, mikro lygiu - optimizuoti parametrus. pagrindiniai elementai.

Pagal funkcinių matematinių modelių gavimo būdus skirstomi į teorinius ir eksperimentinius.

Teorinis modeliai gauti remiantis fizikinių objekto funkcionavimo procesų aprašymu, ir eksperimentinis– remiantis objekto elgesiu išorinėje aplinkoje, laikant jį „juodąja dėže“. Eksperimentai šiuo atveju gali būti fiziniai (su techniniu objektu ar jo fiziniu modeliu) arba skaičiuojami (pagal teorinį matematinį modelį).

Kuriant teorinius modelius, naudojamas fizinis ir formalus požiūris.

Fizinis požiūris yra sumažintas iki tiesioginio fizikinių dėsnių taikymo objektams apibūdinti, pavyzdžiui, Niutono, Huko, Kirchhoffo ir kt.

Formalus metodas naudoja bendruosius matematinius principus ir yra naudojamas kuriant tiek teorinius, tiek eksperimentinius modelius. Eksperimentiniai modeliai yra formalūs. Jie neatsižvelgia į visą tiriamos techninės sistemos elementų fizikinių savybių kompleksą, o tik nustato eksperimento metu rastą ryšį tarp atskirų sistemos parametrų, kuriuos galima keisti ir (ar) išmatuoti. Tokie modeliai suteikia adekvatų tiriamų procesų aprašymą tik ribotoje parametrų erdvės srityje, kurioje eksperimento metu parametrai buvo keičiami. Todėl eksperimentiniai matematiniai modeliai yra tam tikro pobūdžio, o fiziniai dėsniai atspindi bendrus reiškinių ir procesų modelius, vykstančius visame pasaulyje. techninė sistema, taip pat kiekviename jo elemente atskirai. Vadinasi, eksperimentiniai matematiniai modeliai negali būti priimti kaip fizikiniai dėsniai. Tačiau šių modelių kūrimo metodai yra plačiai naudojami tikrinant mokslines hipotezes.

Funkciniai matematiniai modeliai gali būti tiesiniai ir nelinijiniai. Linijinis modeliuose yra tik tiesinės dydžių funkcijos, apibūdinančios objekto būseną jo veikimo metu, ir jų išvestinės. Daugelio realių objektų elementų charakteristikos yra nelinijinės. Tokių objektų matematiniai modeliai apima netiesines šių dydžių funkcijas ir jų išvestines bei nuorodas nelinijinis .

Jeigu modeliuojant atsižvelgiama į objekto inercines savybes ir (ar) objekto ar išorinės aplinkos laiko pokytį, tai modelis vadinamas dinamiškas. Kitu atveju modelis yra statinis. Dinaminio modelio matematinis vaizdavimas bendras atvejis gali būti išreikšta diferencialinių lygčių sistema, o statinė – algebrinių lygčių sistema.

Jeigu aplinkos poveikis objektui yra atsitiktinio pobūdžio ir apibūdinamas atsitiktinėmis funkcijomis. Šiuo atveju būtina statyti tikimybinis matematinis modelis. Tačiau toks modelis yra labai sudėtingas ir jo panaudojimas projektuojant techninius objektus reikalauja daug kompiuterio laiko. Todėl jis naudojamas paskutinis etapas dizainas.

Dauguma projektavimo procedūrų atliekamos pagal deterministinius modelius. Deterministiniam matematiniam modeliui būdingas vienas su vienu atitikimas tarp išorinės įtakos dinaminei sistemai ir jos reakcijos į šią įtaką. Skaičiavimo eksperimento metu projektuojant paprastai nustatomi tam tikri standartiniai tipiniai objekto veiksmai: žingsninis, impulsinis, harmoninis, dalinis tiesinis, eksponentinis ir tt Jie vadinami bandomaisiais veiksmais.

Lentelės „Matematinių modelių klasifikacija“ tęsinys

Techninių objektų matematinių modelių tipai
Atsižvelgiant į fizines TO savybes	Pagal gebėjimą numatyti rezultatus
Dinamiškas	deterministinis
Statinis	Tikimybinis
tęstinis
Diskretus
Linijinis
Šiame etape atliekami šie veiksmai. Sudaromas programinės įrangos modelio kūrimo ir naudojimo planas. Paprastai modelio programa kuriama naudojant kompiuterinio modeliavimo automatizavimo įrankius. Todėl plane nurodyta: kompiuterio tipas; modeliavimo automatizavimo įrankis; apytikslės kompiuterio atminties sąnaudos kuriant modelio programą ir jos darbo matricas; mašinos laiko kaina vienam modelio ciklui; modelio programos programavimo ir derinimo išlaidų sąmatas. Tada tyrėjas pradeda programuoti modelį. Kaip įgaliojimai aprašymas programavimui simuliacinis modelis. Modelių programavimo darbo specifika priklauso nuo modeliavimo automatizavimo įrankių, kurie yra prieinami tyrėjui. Nėra reikšmingų skirtumų tarp modelio programos kūrimo ir įprasto programos modulių derinimo neprisijungus didele programa arba programinės įrangos paketą.Pagal tekstą modelis skirstomas į blokus ir subblokus. Priešingai nei įprastas programos modulių derinimas neprisijungus, derinant programos modelio blokus ir antrinius blokus, darbo kiekis žymiai padidėja, nes kiekvienam moduliui reikia sukurti ir derinti išorinės aplinkos simuliatorių. Labai svarbu patikrinti modulio funkcijų įgyvendinimą modelio laiku t ir įvertinti kompiuterio laiko sąnaudas vienam modelio ciklui kaip modelio parametrų reikšmių funkciją. Darbas baigiamas autonominio modelio komponentų derinimo metu parengiant formas modeliavimo įvesties ir išvesties duomenims atvaizduoti. Tada pereikite prie antrojo sistemos modelio programos patikimumo patikrinimo. Šio patikrinimo metu nustatomas operacijų atitikimas programoje ir modelio aprašyme. Tam jis gaminamas atvirkštinis vertimas programas į modelio diagramą (rankinis „slinkimas“ leidžia rasti grubias klaidas modelio statikoje). Pašalinus grubias klaidas, sujungiami keli blokai ir pradedamas sudėtingas modelio derinimas naudojant testus. Bandymų derinimas prasideda nuo kelių blokų, tada šiame procese dalyvauja vis daugiau modelių blokų. Atkreipkite dėmesį, kad sudėtingas modelio programos derinimas yra daug sunkesnis nei programų paketų derinimas, nes modeliavimo dinamikos klaidas šiuo atveju yra daug sunkiau rasti dėl beveik lygiagretaus įvairių modelio komponentų veikimo. Baigus kompleksinį modelio programos derinimą, reikia iš naujo įvertinti kompiuterio laiko sąnaudas vienam modelio skaičiavimų ciklui. Šiuo atveju naudinga gauti apytikslę modeliavimo trukmę vienam modeliavimo ciklui. Kitas žingsnis yra kompiliavimas techninę dokumentaciją sudėtingam sistemos modeliui. Pasibaigus sudėtingam modelio programos derinimui, etapo rezultatas turėtų būti šiuos dokumentus: modeliavimo modelio aprašymas; modelio programos aprašymas, nurodant programavimo sistemą ir priimtą žymėjimą; visa modelio programos schema; pilnas modelio programos įrašymas modeliavimo kalba; modelio programos patikimumo įrodymas (kompleksinio modelio programos derinimo rezultatai); įvesties ir išvesties verčių aprašymas su reikalingais paaiškinimais (matmenys, skalės, verčių diapazonai, simboliai); kompiuterinio laiko sąnaudų vienam modeliavimo ciklui įvertinimas; instrukcijos, kaip dirbti su modelio programa. Modelio tinkamumui tyrimo objektui patikrinti, sudaręs formalų sistemos aprašymą, tyrėjas parengia pilno masto eksperimentų su sistemos prototipu planą. Jei nėra sistemos prototipo, gali būti naudojama įdėtųjų IM sistema, kuri skiriasi viena nuo kitos tų pačių reiškinių imitacijos detalumo laipsniu. Tada išsamesnis modelis yra apibendrinto IM prototipas. Jei tokios sekos sukurti neįmanoma dėl išteklių šiam darbui atlikti trūkumo arba dėl informacijos trūkumo, jie daro nepatikrindami IV tinkamumo. Pagal šį planą, lygiagrečiai su IM derinimu, atliekama visa eilė tikros sistemos eksperimentų, kurių metu kontrolės rezultatus. Turėdamas savo žinioje kontrolės ir MI tyrimo rezultatus, tyrėjas patikrina modelio tinkamumą objektui. Jei derinimo fazės metu randama klaidų, kurias galima ištaisyti tik ankstesnėse fazėse, galima grįžti į ankstesnę fazę. Be techninės dokumentacijos, prie etapo rezultatų pridedamas mašininis modelio įgyvendinimas (programa, išversta į kompiuterio mašininį kodą, kuriame vyks modeliavimas). Tai svarbus žingsnis kuriant modelį. Tokiu atveju turite atlikti šiuos veiksmus. Pirmiausia įsitikinkite, kad tiriamo objekto modeliavimo algoritmo kūrimo dinamika yra teisinga imituojant jo funkcionavimą (modeliui patikrinti). Antra, nustatyti modelio ir tyrimo objekto adekvatumo laipsnį. Programinio modeliavimo modelio adekvatumas realiam objektui suprantamas kaip objekto ir modelio elgsenos charakteristikų vektorių sutapimas su tam tikru tikslumu. Nesant adekvatumo, modeliavimo modelis kalibruojamas („pataiso“ modelio komponentų algoritmų charakteristikas). Klaidų buvimas modelio komponentų sąveikoje grąžina tyrėją į modeliavimo modelio kūrimo stadiją. Gali būti, kad formalizavimo metu tyrėjas per daug supaprastino fizikinius reiškinius, išbraukė iš svarstymo keletą svarbių sistemos veikimo aspektų, o tai lėmė modelio netinkamumą objektui. Šiuo atveju tyrėjas turi grįžti į sistemos formalizavimo stadiją. Tais atvejais, kai formalizavimo metodo pasirinkimas buvo nesėkmingas, tyrėjas turi pakartoti konceptualaus modelio sudarymo etapą, atsižvelgiant į nauja informacija ir kylanti patirtis. Galiausiai, kai tyrėjas neturi pakankamai informacijos apie objektą, jis turi grįžti į prasmingo sistemos aprašymo sudarymo stadiją ir jį patikslinti, atsižvelgdamas į ankstesnio sistemos modelio testavimo rezultatus. Kartu vertinamas reiškinių modeliavimo tikslumas, modeliavimo rezultatų stabilumas, kokybės kriterijų jautrumas modelio parametrų pokyčiams. Kai kuriais atvejais labai sunku gauti šiuos įvertinimus. Tačiau be sėkmingų šio darbo rezultatų modeliu nepasitikės nei kūrėjas, nei IM klientas. Skirtingi tyrėjai, priklausomai nuo IM tipo, sukūrė skirtingą IM tikslumo, stabilumo, stacionarumo, jautrumo sąvokų interpretacijas. Kol kas nėra visuotinai priimtos reiškinių imitavimo kompiuteriu teorijos. Kiekvienas tyrėjas turi pasikliauti savo patirtimi organizuojant modeliavimą ir savo supratimu apie modeliavimo objekto ypatybes. Reiškinių modeliavimo tikslumas – tai stochastinių elementų įtakos kompleksinio sistemos modelio funkcionavimui įvertinimas. Modeliavimo rezultatų stabilumą apibūdina valdomo modeliavimo parametro konvergencija iki tam tikros reikšmės, didėjant sudėtingos sistemos varianto modeliavimo laikui. Modeliavimo režimo stacionarumas apibūdina tam tikrą procesų pusiausvyrą sistemos modelyje, kai tolesnis modeliavimas yra beprasmis, nes tyrėjas negaus naujos informacijos iš modelio, o tęsiant modeliavimą praktiškai tik pailgėja darbo laikas kompiuteriu. Būtina numatyti tokią galimybę ir sukurti metodą, kaip nustatyti momentą, kada pasiekiamas stacionaraus modeliavimo režimas. MI jautrumą parodo pasirinkto kokybės kriterijaus minimalaus prieaugio vertė, apskaičiuota pagal modeliavimo statistiką, nuosekliai kintant modeliavimo parametrams visame jų pokyčių diapazone. Šis etapas prasideda suplanuojant eksperimentą, kuris leidžia tyrėjui gauti maksimalią informaciją su minimaliomis skaičiavimo pastangomis. Reikalingas statistinis eksperimentinio plano pagrindimas. Eksperimento planavimas – tai procedūra, kuria pasirenkamas eksperimentų skaičius ir sąlygos, kurios yra būtinos ir pakankamos problemai išspręsti reikiamu tikslumu. Kartu būtina: siekti kuo labiau sumažinti bendrą eksperimentų skaičių, užtikrinti galimybę vienu metu keisti visus kintamuosius; matematinio aparato, įforminančio daugelį eksperimentuotojų veiksmų, naudojimas; pasirenkant aiškią strategiją, leidžiančią priimti pagrįstus sprendimus po kiekvienos modelio eksperimentų serijos. Tada tyrėjas atlieka modelio darbinius skaičiavimus. Tai labai daug laiko reikalaujantis procesas, reikalaujantis didelių kompiuterinių resursų ir daugybės raštvedybos darbų. Pažymėtina, kad jau pradiniame IM kūrimo etape būtina atidžiai apsvarstyti modeliavimo informacijos sudėtį ir apimtį, kad būtų žymiai palengvinta tolesnė modeliavimo rezultatų analizė. Darbo rezultatas – modeliavimo rezultatai. Šis etapas užbaigia technologinę modeliavimo modelių kūrimo ir naudojimo etapų grandinę. Gavęs modeliavimo rezultatus, tyrėjas pradeda interpretuoti rezultatus. Čia galimi šie modeliavimo ciklai. Pirmajame modeliavimo eksperimento cikle IV iš anksto suteikia galimybę pasirinkti tiriamos sistemos variantus, nustatydamas pradines modeliavimo sąlygas. mašinos programa modeliai. Antrame modeliavimo eksperimento cikle modelis modifikuojamas modeliavimo kalba, todėl reikalingas pakartotinis programos vertimas ir redagavimas. Gali būti, kad interpretuodamas rezultatus tyrėjas nustatė klaidų tiek kurdamas modelį, tiek formalizuodamas modeliavimo objektą. Tokiais atvejais grįžtama atitinkamai prie modeliavimo modelio aprašymo konstravimo arba prie konceptualaus sistemos modelio sudarymo etapų. Modeliavimo rezultatų interpretavimo etapo rezultatas yra rekomendacijos sistemos projektavimui arba jos modifikavimui. Turėdami rekomendacijas, mokslininkai pradeda priimti dizaino sprendimus. Modeliavimo rezultatų interpretacijai didelę įtaką turi naudojamo kompiuterio ir jame įdiegtos modeliavimo sistemos vaizdavimo galimybės. 1. Kaip yra klasifikuojami matematiniai modeliai pagal taikomo matematinio aparato ypatybes. Matematikos santrauka Ekonominio ir matematinio modelio, skirto žemės ūkio sektoriaus gamybos sektorinei struktūrai optimizuoti, sukūrimas