Exemple de modele matematice în prezentarea tehnologiei. Prezentare pentru lecția „Alcătuirea modelelor matematice”. Clasificare în funcție de tipul de seturi de parametri utilizate

Fundamentele modelării matematice

S.V. Zvonarev
Fundamentele matematicii
modelare
Curs nr. 2. Modele matematice şi clasificări ale acestora
Ekaterinburg
2012

Scopul prelegerii

Definiți conceptul de model matematic.
Pentru a studia modelul matematic generalizat.
Luați în considerare clasificarea modele matematice.
2 Model matematic.
Modelul matematic generalizat.
.
Gradul de corespondență a modelului matematic cu obiectul.
Clasificarea modelelor matematice.
3

Model matematic

MODEL MATEMATIC
4

Model matematic

Un model matematic este un set de ecuații
sau alte relaţii matematice care reflectă principalul
proprietăţile obiectului sau fenomenului studiat în cadrul acceptate
speculativ
fizic
modele
și
particularitatile
a lui
interacțiunea cu mediul.
Principalele proprietăți ale modelelor matematice sunt:
adecvarea;
simplitate.
Procesul de formulare a unui model matematic se numește
stabilirea sarcinilor.
Modelul matematic este un analog matematic
obiectul proiectat. Gradul de adecvare al obiectului său
este determinată de formularea și corectitudinea soluțiilor problemei
proiecta.
5

Modelare matematică

Modelul matematic al unui obiect tehnic -
set de ecuații și relații matematice
între ele, care reflectă în mod adecvat proprietățile
a obiectului studiat, de interes pentru cercetător
(inginer).
Modelarea matematică este ideală
modelarea formală simbolică științifică, în care
descrierea obiectului se realizează în limbajul matematicii și
studiul modelului se realizează cu ajutorul celor sau
alte metode matematice.
Metode pentru găsirea extremului unei funcții a mai multor
variabile cu diferite constrângeri adesea
numit
metode
matematic
programare.
6

Modelul matematic generalizat

Elemente ale modelului matematic generalizat:
set de date de intrare (variabile) X,Y;
operator matematic L;
set de date de ieșire (variabile) G(X,Y).
7

Date de intrare

X este un set de variabile variabile, care
formează spațiul parametrilor variabili Rx
(spațiu de căutare), care este metric cu
dimensiune
n,
egal
număr
variabil
parametrii.
Y este un set de variabile independente (constante),
care formează spațiul metric al intrării
date Ry. Când fiecare componentă
spațiul Ry este dat de intervalul posibil
valori,
Multe
independent
variabile
afișat
niste
limitat
subspațiul spațiului Ry.
8

Variabile independente Y

Ele definesc mediul pentru funcționarea obiectului, adică.
extern
termeni,
în
care
va fi
muncă
obiect proiectat. Acestea pot include:
parametrii tehnici ai obiectului care nu sunt supuşi
modificarea procesului de proiectare;
fizic
tulburări de mediu,
obiectul de design interacționează;
Cu
care
parametrii tactici care trebuie atinşi
obiect de design.
9

Operator matematic și ieșire

Operatorul matematic L este un sistem complet
operaţii matematice care descriu numerice sau
relaţii logice între seturile de intrare şi
date de ieșire (variabile). El defineste
operatii asupra datelor de intrare.
Set de date de ieșire (variabile) G(X,Y)
este un set de funcții criteriale,
inclusiv (dacă este necesar) funcția obiectivă.
Date de ieșire ale modelului generalizat considerat
formează un spațiu metric al criteriilor
Indicatori RG.
10

Neliniaritatea modelelor matematice

Neliniaritatea modelelor matematice
‒ încălcarea principiului
suprapuneri, i.e. când orice combinație liniară de soluții nu este
este solutia problemei. Astfel cunoștințe despre comportamentul piesei
obiectul nu garantează încă cunoașterea comportamentului întregului obiect.
Majoritate
real
proceselor
și
relevante
lor
modelele matematice nu sunt liniare. Modelele liniare sunt responsabile
cazuri foarte speciale și, de regulă, servesc doar pe primul
apropiindu-se de realitate.
Exemplu - modelele populației devin imediat neliniare,
dacă ţinem cont de populaţia disponibilă limitată
resurse.
11

Gradul de corespondență al modelelor matematice cu obiectul

Dificultăți:
Modelul matematic nu este niciodată identic
obiectul în cauză și nu transmite toate proprietățile sale și
Caracteristici.
Modelul matematic este o descriere aproximativă
obiect și este întotdeauna aproximativă.
Precizia potrivirii este determinată de gradul de potrivire,
adecvarea modelului si obiectului. Modalitati:
Utilizarea experimentului (practicării) pentru a compara modele și
alegerea celui mai potrivit.
Unificarea modelelor matematice datorită acumulării de mulțimi
modele finite.
Transferul modelelor finite de la un proces la altul,
identice, asemănătoare.
Utilizarea numărului minim de aproximări și contabilitate
influențe perturbatoare.
12

Clasificarea modelelor matematice

CLASIFICARE
MODELE MATEMATICE
13

Clase de modele matematice

Modelele matematice sunt împărțite în clase în
în funcție de:
complexitatea obiectului de modelare;
operator model;
parametrii de intrare și de ieșire;
obiective de modelare;
metoda de studiu a modelului;
obiecte de studiu;
apartenenţa modelului la nivel ierarhic
descrieri de obiecte;
natura proprietăților afișate;
procedura de calcul;
utilizarea controlului procesului.
14

Clasificarea după complexitatea obiectului

LA
simplu
modele
la
modelare
nu
considerată structura interna obiect, nu
a iesi in evidenta
constituenți
a lui
elemente
sau
subprocese.
Sistemul de obiecte este în mod corespunzător un sistem mai complex,
care este o colecție de interconectate
elemente, separate de mediu inconjuratorși
interacționând cu ea ca întreg.
15

Clasificare după operator de model

matematic
model
numit
liniară dacă operatorul prevede
liniar
dependenta
weekend
parametrii
din
valorile
intrare
parametrii.
matematic
model
numit
neliniar dacă operatorul prevede
neliniară
dependenta
weekend
parametrii
din
valorile
intrare
parametrii.
Modelul matematic este simplu dacă operatorul modelului este
algebric
expresie,
reflectorizant
funcţional
dependența parametrilor de ieșire față de cei de intrare.
Model care include sisteme diferenţiale şi integrale
relațiile se numesc complexe.
Un model se numește algoritmic atunci când este posibil să fie construit
oarecare imitator al comportamentului și proprietăților unui obiect folosind un algoritm.
16

Clasificare după parametrii de intrare și de ieșire

17

Clasificarea după natura procesului care se modelează

determinat,
care
corespund
procese deterministe care au strict
relație neechivocă între mărimile fizice,
caracterizarea stării sistemului în orice
moment
timp.
determinat
model
face posibilă calcularea și prezicerea fără ambiguitate
valorile valorilor de ieșire în funcție de valorile de intrare
parametrii și acțiunile de control.
Nedefinite, care provin din faptul că
are loc o modificare a mărimilor definitorii
aleatoriu și valorile cantităților de ieșire
sunt în corespondență probabilistică cu intrarea
cantități și nu sunt determinate în mod unic.
18

Modele nedefinite

Stochastic - valori ale tuturor sau ale parametrilor individuali
modelele sunt determinate de variabile aleatorii date
densități de probabilitate.
Aleatoriu - valorile tuturor sau ale parametrilor individuali ai modelului
sunt stabilite de variabile aleatoare date de estimări
densităţile de probabilitate obţinute în urma prelucrării
eșantion experimentale limitate a acestor parametri.
Interval - valori ale tuturor sau ale parametrilor individuali
modelele sunt descrise prin valorile de interval date de
intervalul format din minim şi maxim
valorile posibile ale parametrului.
Fuzzy - valorile tuturor sau ale parametrilor individuali ai modelului
sunt descrise de funcţiile de membru ale corespondentului
set neclar.
19

Clasificare în raport cu dimensiunea spațiului

Unidimensional.
Bidimensional.
Tridimensional.
Această diviziune este aplicabilă pentru modele, inclusiv
parametrii
care
sunt incluse
coordonate
spaţiu.
20

Clasificare în funcție de timp

Static. Dacă starea sistemului nu este

static. Simulare statică
servește pentru a descrie starea unui obiect în
punct fix în timp.
Dinamic. Dacă starea sistemului
se modifică în timp, apoi se numesc modelele
dinamic. Simulare dinamică
servește la studiul în timp a obiectului.
21

Clasificare în funcție de tipul de seturi de parametri utilizate

Calitate.
Cantitativ.
Discret.
Continuu.
Amestecat.
22

Clasificarea prin modelarea obiectivelor

Descriptiv. Scopul unor astfel de modele este de a stabili legi
modificarea parametrilor modelului. Un exemplu este un model de mișcare a rachetei după
lansare de la suprafața pământului.
Optimizare. Astfel de modele sunt concepute pentru a determina
parametri optimi din punctul de vedere al unui criteriu
a obiectului simulat sau pentru a găsi modul optim
controlul unui proces. Un exemplu de astfel de model este
servesc drept simulare a procesului de lansare a unei rachete de la suprafața Pământului cu
scopul ridicării acestuia la o înălţime dată în timp minim.
managerial. Astfel de modele sunt folosite pentru a face eficient
decizii de management în diverse zone intenționat
23
activitati umane.

Clasificarea după metoda de implementare

Analitic. Metodele analitice sunt mai convenabile pentru
analiza ulterioară a rezultatelor, dar sunt aplicabile numai pentru
modele relativ simple. Dacă cea matematică
problema admite o soluție analitică, apoi este luată în considerare
numeric este de preferat.
algoritmic. Metodele algoritmice se reduc la
niste
algoritm
implementarea
tehnica de calcul
24
experimente folosind un computer.

Clasificarea pe obiecte de studiu

Obiecte cu un grad ridicat de informare. dacă în proces
modelare, sunt cunoscute sisteme complete de ecuații,
descriind toate aspectele procesului care se modelează și toate
valorile numerice ale parametrilor acestor ecuații.
Obiecte cu nivel de informație zero. Matematic
modelul unui astfel de obiect este construit pe baza statisticilor
date experimentale.
Obiecte cu regularități de bază cunoscute.
Valorile constantelor în ecuațiile matematice de descriere
modelele sunt stabilite din experienţă.
Obiecte al căror comportament este cunoscut
natura empirică. Ei folosesc metode
modelare fizică folosind matematică
planificarea experimentului.
25

Clasificare după modelul aparținând nivelului ierarhic al descrierii obiectului

Nivel micro
(tipic
proceselor
sunteți
transfer în masă,
termofizic,
hidrodinamic).
Modelare
efectuate
în
scopuri
sinteză
proces tehnologic pentru unul sau mai multe
agregate.
Nivel macro. Procese de modelare cu mai multe
nivel ridicat de agregare; modelele sunt folosite pentru sinteză
controlul curent al procesului pentru unul
unitate sau complex tehnologic în ansamblu.
Metalevel. Simularea proceselor în agregat
agregate și conectându-le material și energie
cursuri. Astfel de modele servesc pentru sinteza tehnologică
complex în ansamblu, adică pentru sinteza controlului
dezvoltare.
26

Clasificarea după natura proprietăților afișate ale modelului

Funcţional
modele.
Sunt utilizate,
pentru
descrieri
procesele fizice şi informaţionale care au loc în timpul
functionarea obiectului.
Structural
modele.
Descrie
compus
și
interconexiuni
elemente ale sistemului (proces, obiect).
27

Clasificare după ordinea de calcul

Direct. Folosit pentru a determina cinetica,
modele statice și dinamice ale proceselor.
Verso
(inversiunea).
Sunt utilizate
pentru
determinarea valorii parametrilor de intrare sau altele
proprietăţile specificate ale substanţelor prelucrate sau
produse, precum și pentru a determina acceptabile
abateri ale modurilor de procesare (probleme de optimizare
procese și parametri ai dispozitivului).
Inductiv.
aplica
pentru
clarificări
ecuaţii matematice de cinetică, statică sau
dinamica proceselor folosind noi ipoteze sau
teorii.
28

Clasificare prin utilizarea controlului procesului

Modele de prognoză sau modele de calcul fără control.
Scopul principal al acestor modele este de a prezice comportamentul
sisteme în timp și spațiu, cunoscând starea inițială
și informații despre comportamentul său la graniță. Exemple -modele
distributie de caldura, camp electric, chimic
cinetică, hidrodinamică.
modele de optimizare.
– Modele staţionare. Folosit la nivel de proiectare
variat
tehnologic
sisteme.
Exemple
‒
sarcini deterministe, toate informații de intrare in care
este complet definibil.
– Nestaționare
modele.
Sunt utilizate
pe
nivel
design și, în principal, pentru optim
managementul diferitelor procese - tehnologice,
economice etc. În aceste probleme, unii parametri sunt
aleatoare sau conţin un element de incertitudine.
29 Ipoteza.
Model fenomenologic.
Apropiere.
Simplificare.
model euristic.
Analogie.
Experiment de gândire.
Demonstrație de posibilitate.
30

Ipoteză

Aceste modele sunt de probă
descrierea fenomenului. Dacă se construiește un astfel de model, atunci
asta înseamnă că ea este recunoscută temporar ca adevăr
și vă puteți concentra asupra altor probleme.
Cu toate acestea, acesta nu poate fi scopul cercetării și
doar o pauză temporară: starea modelului poate fi
doar temporar.
Exemple:
Model sistem solar după Ptolemeu.
Modelul copernican (îmbunătățit de Kepler).
Modelul lui Rutherford al atomului.
Modelul Big Bang.
si etc.
31

Model fenomenologic

Acest model conține un mecanism de descriere a fenomenului.
Cu toate acestea, acest mecanism nu este suficient de convingător și nu poate fi
confirmate de datele disponibile sau slab concordante cu
teoriile disponibile și cunoștințele acumulate despre obiect.
Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de temporar
solutii. Rolul modelului în studiu se poate schimba odată cu
în timp, se poate întâmpla ca date și teorii noi
confirmă modelele fenomenologice și vor fi actualizate la
starea ipotezei. De asemenea, noile cunoștințe pot fi treptat
intră în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip şi cele
poate fi tradus în al doilea.
Exemple:
Modelul caloric.
Modelul cuarc al particulelor elementare.
si etc.
32

Apropiere

O practică obișnuită când nu poți
Rezolvarea ecuațiilor chiar și cu ajutorul unui calculator,
descrierea sistemului studiat – utilizare
aproximări. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare.
Exemplul standard este legea lui Ohm.
33

Simplificare

Acest model elimină piese care
poate afecta în mod vizibil și nu întotdeauna controlabil
rezultat.
Exemple:
Aplicarea modelului unui gaz ideal la unul non-ideal.
Ecuația de stare Van der Waals.
Majoritatea modelelor de fizică a stării solide,
lichide și fizica nucleară. Calea de la microdescriere la
proprietăţile corpurilor (sau mediilor) constând dintr-un număr mare
particule, foarte lungi. Multe trebuie aruncate
Detalii.
34

model euristic

Modelul euristic păstrează doar calitativ
aparență de realitate și dă predicții doar „conform
ordin de mărime."
Oferă formule simple pentru coeficienți
vâscozitate, difuzie, conductivitate termică, consistentă
cu realitatea în ordinea mărimii. Dar la
construirea unei noi fizici este departe de a fi obţinută imediat
un model care oferă cel puțin o descriere calitativă a obiectului.
Un exemplu tipic este aproximarea lungimii medii
cale liberă în teoria cinetică.
35

Analogie

Acest
model
primul
apărea,
când
interacțiunea în sistemul neutron-protoni încercat
explicați prin interacțiunea atomului
hidrogen cu un proton. Această analogie a condus la
concluzia că trebuie să existe schimb
forțele de interacțiune dintre neutron și proton,
datorită trecerii unui electron între doi
protoni.
36

Experimentul gândirii și demonstrarea posibilității

Un experiment de gândire este un raționament
care în cele din urmă duc la o contradicţie.
Demonstrarea posibilității este, de asemenea, mentală
experimente
Cu
imaginat
entitati
demonstrând,
ce
presupus
fenomen
în concordanţă cu principiile de bază şi pe plan intern
consistent. Una dintre cele mai faimoase dintre acestea
experimente - geometria Lobaciovski.
37

Concluzie și concluzii

Se ia în considerare conceptul de model matematic.
A fost studiat un model matematic generalizat.
Sunt definite conceptele: neliniaritatea modelelor matematice și gradul
corespondența modelului matematic cu obiectul.
Este prezentată clasificarea modelelor matematice.
38 Samarsky, A.A. Modelare matematică / A.A. Samara,
A.P. Mihailov. – M.: Știință. Fizmatlit, 1997.
Tarasevici, N.N. Modelare matematică și computerizată.
Curs introductiv / N.N. Tarasevici. – M.: Editorial URSS, 2001.
Introducere în modelarea matematică: Uch. indemnizatie / sub
editat de P.V. Trusova. – M.: Carte universitară, Logos, 2007. –
440 s.

slide 3

Modelare matematică

aceasta este o descriere aproximativă a unei clase de fenomene, exprimată în limbajul unora teorie matematică(folosind un sistem de ecuații și inegalități algebrice, ecuații diferențiale sau integrale, funcții, un sistem de propoziții geometrice, vectori etc.).

slide 4

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii: Modele liniare sau neliniare[; Sisteme concentrate sau distribuite; Determinist sau stocastic; Static sau dinamic; discrete sau continue. si asa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta etc.

slide 5

Clasificare după metoda de reprezentare a unui obiect Modele structurale sau funcționale Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu dispozitiv și mecanism propriu de funcționare. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, sunt numite și modele „cutie neagră”. De asemenea, posibil tipuri combinate modele, uneori denumite modele cu case gri.

slide 6

Modele semnificative și formale Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică subliniază că mai întâi se construiește o construcție ideală specială, un model semnificativ. Iar construcția matematică finală se numește model formal sau pur și simplu model matematic obținut ca urmare a formalizării acestui model de conținut. Construcția unui model semnificativ poate fi realizată folosind un set de idealizări gata făcute, adică oferă elemente structurale gata făcute pentru modelarea semnificativă.

Slide 7

Slide 8

Tip 1: Ipoteza (aceasta ar putea fi)

Aceste modele „reprezintă o descriere probă a fenomenului, iar autorul fie crede în posibilitatea lui, fie chiar consideră că este adevărat”. Nicio ipoteză în știință nu poate fi dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a formulat foarte clar acest lucru: dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și te poți concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul modelului de primul tip poate fi doar temporar.

Slide 9

Tipul 2: model fenomenologic (se comportă ca și cum...)

Modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut și este necesar să se continue căutarea „mecanismelor adevărate”. Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi transferate la al doilea.

Slide 10

Tipul 3: Aproximare (luați în considerare ceva foarte mare sau foarte mic)

Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre acestea se numără modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare.

diapozitivul 11

Tip 4: Simplificați (omițând unele detalii pentru claritate)

Într-un model de tip 4, detaliile sunt eliminate care pot afecta în mod vizibil și nu întotdeauna controlabil rezultatul. Aceleași ecuații pot servi ca model de tip 3 (aproximare) sau 4 (omitem câteva detalii pentru claritate) - asta depinde de fenomenul pentru care modelul este folosit pentru a studia. Deci, dacă modelele de răspuns liniar sunt utilizate în absența unor modele mai complexe, atunci acestea sunt deja modele liniare fenomenologice.

slide 12

Tipul 5: model euristic (fără confirmare cantitativă, dar modelul oferă o perspectivă)

Modelul euristic păstrează doar o asemănare calitativă cu realitatea și face predicții doar „în ordinea mărimii”. Oferă formule simple pentru coeficienții de vâscozitate, difuzie, conductivitate termică, în concordanță cu realitatea în ordinea mărimii.

diapozitivul 13

Tip 6: Analogie (vom lua în considerare doar câteva caracteristici)

Similaritate, egalitate de relații; asemănarea obiectelor, fenomenelor, proceselor, cantităților ..., în orice proprietăți, precum și cunoștințe, luând în considerare doar unele dintre trăsături.

Slide 14

Tip 7: experiment de gândire (principalul este să infirmi posibilitatea)

vedere activitate cognitivă, în care situația cheie pentru o anumită teorie științifică este jucată nu într-un experiment real, ci în imaginație. În unele cazuri, un experiment de gândire dezvăluie contradicții între teorie și „conștiința obișnuită”, ceea ce nu este întotdeauna o dovadă a inexactității teoriei.

diapozitivul 15

Tipul 8: Demonstrarea posibilității (principalul este de a arăta consistența internă a posibilității)

Acestea sunt și experimente gândite cu entități imaginare, care demonstrează că presupusul fenomen este în concordanță cu principiile de bază și este consecvent intern. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse. Clasificarea de fond se bazează pe etapele premergătoare analizei și calculelor matematice. Opt tipuri de modele conform lui R. Peierls sunt opt ​​tipuri de posturi de cercetare în modelare.

slide 16

Principalele etape ale modelării matematice

1. Construirea unui model. În această etapă, este specificat un obiect „non-matematic” - un fenomen natural, o structură, plan economic, proces de fabricație etc. În același timp, de regulă, o descriere clară a situației este dificilă. În primul rând, sunt identificate principalele trăsături ale fenomenului și relația dintre ele la nivel calitativ. Apoi dependențele calitative găsite sunt formulate în limbajul matematicii, adică se construiește un model matematic. Aceasta este cea mai dificilă parte a modelării.

Slide 17

2. Rezolvare problema matematica, la care duce modelul. În această etapă mare atentie se acordă dezvoltării unor algoritmi și metode numerice de rezolvare a unei probleme pe calculator, cu ajutorul cărora rezultatul poate fi găsit cu acuratețea necesară și într-un timp acceptabil. 3. Interpretarea consecinţelor obţinute din modelul matematic. Consecințele derivate din modelul în limbajul matematicii sunt interpretate în limbajul acceptat în acest domeniu.

Slide 18

4. Verificarea adecvării modelului. În această etapă, se află dacă rezultatele experimentului sunt de acord cu consecințele teoretice ale modelului într-o anumită acuratețe. 5. Modificarea modelului. În această etapă, fie modelul devine mai complex astfel încât să fie mai adecvat realității, fie se simplifică pentru a obține o soluție practic acceptabilă.

Slide 19

În acest caz, trebuie îndeplinite următoarele cerințe:

modelul ar trebui să reflecte în mod adecvat cele mai esențiale (din punctul de vedere al unei anumite enunțuri de problemă) proprietăți ale obiectului, făcând abstracție de proprietățile sale neesențiale; modelul trebuie să aibă o anumită zonă de aplicabilitate, datorită ipotezelor adoptate în construcția sa; modelul ar trebui să permită obținerea de noi cunoștințe despre obiectul studiat.

Slide 20

VĂ MULȚUMIM PENTRU ATENȚIE

Vizualizați toate diapozitivele

Obiect (proces de transport)

Practic

Schema de proiectare

Model matematic

model matematic

Algoritm

Program

© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 11

În prima etapă a modelării matematice, se realizează trecerea de la obiectul de modelare la schema de calcul. O schemă de proiectare este un model semnificativ și/sau conceptual al unui obiect. De exemplu: un plan pentru transportul mărfurilor, o hartă a rutei, un tabel de transport etc.

În a doua etapă, se efectuează o căutare și o descriere formală a procesului (proceselor) schemei de proiectare printr-un model matematic.

La a treia etapă, calitativă și analiza cantitativa model matematic care include: 1) simplificare, 2) rezolvare a contradicțiilor, 3) corectare.

La a patra etapă se dezvoltă un algoritm eficient de modelare matematică, conform căruia, la a cincea etapă, se creează un program de implementare a modelării matematice.

La a șasea etapă se obțin recomandări practice prin utilizarea programului. Recomandări practice este rezultatul utilizării unui model matematic într-un scop specific în studiul unui obiect (proces de transport).

© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 12

Obiectivele modelării matematice: 1) crearea de modele de procese de transport pentru proiectarea în continuare a proceselor de transport optime (din punct de vedere al timpului, al costului); 2) analiza proprietăților proceselor individuale de transport în vederea estimării timpului și costurilor.

Tipuri de modelare matematică

	Parametric						simulare
							modelare
static			dinamic
						Staționar				nestaționare

Parametric modelarea este modelarea fără o legătură strictă cu obiectul și procesul. Comunicarea se realizează numai prin parametri, de exemplu: masă, lungime, presiune etc. Există abstracții: punct material, gaz ideal etc.

© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 13

Modelele parametrice statice nu contin parametrul „timp” si permit obtinerea caracteristicilor sistemului in echilibru. Modelele parametrice dinamice conțin parametrul de timp și vă permit să obțineți natura proceselor tranzitorii ale sistemului.

Simulare(Simulare) - modelare matematică ținând cont de trăsăturile geometrice ale obiectului de simulare (dimensiune, formă) precum și distribuția densității cu referire la condițiile inițiale și la limită (condiții la limitele geometriei obiectului) la obiecte.

proceselor

Algoritmul programului

© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 14

Simularea staționară vă permite să obțineți caracteristicile obiectului în intervalul de timp care tinde spre zero, adică să „fotografiați” caracteristicile obiectului. Modelarea non-staționară vă permite să obțineți caracteristicile obiectului în timp.

Structura modelului matematic

Parametrii de intrare	ecuații,	parametrii de ieșire
	dependențe etc.

Proprietățile modelului matematic:

1) Completitudine - gradul de reflectare a proprietăților cunoscute ale obiectului; 2) Acuratețe - ordinea de coincidență a caracteristicilor reale (experimentale) și găsite folosind modelul;

3) Adecvarea este capacitatea modelului de a descrie parametrii de ieșire cu o precizie fixă ​​pentru parametrii de intrare fiși (zona de adecvare).

© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 15

4) Rentabilitatea este o evaluare a costului resurselor de calcul pentru a obține un rezultat în comparație cu un model matematic similar;

5) Robustitate - stabilitatea modelului matematic în raport cu erorile datelor inițiale (de exemplu, datele nu corespund fizicii procesului);

6) Productivitatea este impactul acurateței datelor de intrare asupra acurateții datelor de ieșire ale modelului;

7) Claritatea și simplitatea modelului.

Modele matematice (după metoda de obținere)

teoretic empiric

Semiempiric © FGBOU VPO USATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 16

Modelele matematice empirice se obțin prin prelucrarea și analiza rezultatelor datelor experimentale. Identificarea este corectarea unui model matematic existent cu date empirice.

Modelele matematice teoretice se obțin prin metode teoretice - analiză, sinteză, inducție, deducție etc.

Literatură despre teoria modelării matematice și modelelor matematice:

1) Zarubin V. S. Modelare matematică în tehnologie: manual. pentru universităţi / V. S. Zarubin. - Ed. a 3-a. - M .: Editura MSTU im. N.E. Bauman. 2010. - 495 p.

2) Cherepashkov A. A., Nosov N. V. Tehnologii computerizate, modelare și sisteme automatizateîn inginerie mecanică: Manual. pentru stud. superior educational stabilimente. - Volgograd: Editura „In-folio”, 2009. - 640 p.

© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata” 17

4. Mathcad ca instrument de programare a aplicațiilor

Mathcad este un sistem de algebră computerizată din clasa sistemelor de proiectare asistată de calculator, axat pe pregătirea documentelor interactive cu calcule și suport vizual, este ușor de utilizat și aplicat.

Mathcad a fost conceput și scris inițial de Allen Razdov de la Institutul de Tehnologie din Massachusetts.

Dezvoltator: PTC. Primul număr: 1986.

Rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale și algebrice
metode;
Construirea de grafice bidimensionale și tridimensionale ale funcțiilor;
Utilizarea alfabetului grecesc;
Efectuarea de calcule sub formă simbolică;
Suport pentru propriul limbaj de programare
© FGBOU VPO UGATU; cafenea „Hidromecanica aplicata”

Funcții numerice sunt concepute pentru a calcula rădăcinile ecuațiilor prin metode numerice de matematică aplicată, rezolva probleme de optimizare, rezolva ecuații diferențiale prin metoda Runge-Kutta etc.

Funcții simbolice concepute pentru calcule analitice, care sunt similare ca structură cu transformările matematice clasice.

Variabilă de sistem TOL - Toleranță de calcul (implicit 10-3).

Setarea variabilelor cu un pas fix: x:=0, 0+0.01..10.

Dacă variabila este o matrice, atunci puteți accesa elementul matrice introducând indexul cu tasta [.

© FGBOU VPO UGATU; cafenea "Hidromecanica aplicata" 20

Literatură 1. Samarsky AA, Mikhailov AP Modelare matematică: idei. Metode. Exemple.- M.: Nauka, Volkov E. A. Metode numerice. - M.: Nauka, Turchak L. I. Fundamentele metodelor numerice. - M.: Nauka, Kopchenova N.V., Maron I.A. Matematică computațională în exemple și probleme. – M.: Nauka, 1972.

Un pic de istorie de la manipularea obiectelor până la manipularea conceptelor despre obiecte înlocuirea obiectului, procesului sau fenomenului studiat cu un echivalent mai simplu și mai accesibil pentru cercetare, incapacitatea de a lua în considerare întregul set de factori care determină proprietățile și comportamentul a obiectului

Rolul modelelor Clădirea este urâtă, fragilă sau nu se încadrează în peisajul înconjurător Demonstrarea sistemelor circulatorii în natură este inumană Tensiunile, de exemplu, în aripi, pot fi prea mari. Este neeconomic să asamblați circuite electrice pentru măsurători

Comunicarea modelului cu originalul Crearea unui model presupune păstrarea unor proprietăți ale originalului, iar în diferite modele aceste proprietăți pot fi diferite. Clădirea din carton este mult mai mică decât cea reală, dar ne permite să o judecăm aspect; posterul face ca sistemul circulator să fie de înțeles, deși nu are nicio legătură cu organele și țesuturile; modelul de aeronavă nu zboară, dar tensiunile din corpul său corespund condițiilor de zbor.

De ce sunt folosite modele? 1. Un model este mai accesibil pentru cercetare decât un obiect real, 2. Este mai ușor și mai ieftin să studiezi un model decât obiectele reale, 3. Unele obiecte nu pot fi studiate direct: nu este încă posibil, de exemplu, să construiești un dispozitiv pentru fuziunea termonucleară sau efectuarea de experimente în interiorul stelelor, 4. experimentele cu trecutul sunt imposibile, experimentele cu economie sau experimentele sociale sunt inacceptabile

Numirea modelelor 1. Cu ajutorul modelului se pot identifica cei mai semnificativi factori care formeaza proprietatile unui obiect. Deoarece modelul reflectă doar unele dintre caracteristicile obiectului - originalul, atunci prin variarea setului acestor caracteristici în model, este posibil să se determine gradul de influență a anumitor factori asupra adecvării comportamentului modelului.

Modelul este necesar: 1. Pentru a înțelege cum este aranjat un anumit obiect: care este structura lui, proprietățile, legile dezvoltării și interacțiunii cu lumea înconjurătoare. 2. Pentru a învăța cum să gestionați un obiect sau un proces și să determinați cele mai bune moduri management în conformitate cu obiectivele și criteriile date. 3. Pentru a prezice comportamentul obiectului și a evalua consecințele diferitelor metode și forme de impact asupra obiectului (modele meteorologice, modele de dezvoltare a biosferei).

Proprietatea unui model corect model bun are o proprietate remarcabilă: studiul său vă permite să obțineți noi cunoștințe despre obiect - originalul, în ciuda faptului că la crearea modelului, au fost folosite doar unele dintre caracteristicile principale ale originalului

Modelarea materialului Modelul reproduce principalele caracteristici geometrice, fizice, dinamice și funcționale ale obiectului studiat, atunci când un obiect real este comparat cu copia lui mărită sau redusă, ceea ce permite cercetarea în laborator cu transferul ulterior al proprietăților obiectului studiat. procese și fenomene de la model la obiect bazate pe teoria similitudinii (planetarium, modele de clădiri și dispozitive etc.). Procesul de cercetare în acest caz este strâns legat de impactul material asupra modelului, adică constă într-un experiment la scară completă. Astfel, modelarea materialelor este, prin natura sa, o metodă experimentală.

Tipuri de modelare ideală Intuitiv - modelarea obiectelor care nu sunt susceptibile de formalizare sau nu au nevoie de ea. Experienta de viata o persoană poate fi considerată ca modelul său intuitiv al lumii înconjurătoare Semnat - modelare care utilizează transformările semnelor ca modele alt fel: diagrame, grafice, desene, formule etc. si continand un set de legi prin care puteti opera cu elemente de model

Modelarea matematică Studiul unui obiect se realizează pe baza unui model formulat în limbajul matematicii și studiat folosind anumite metode matematice.Modelarea matematică este un domeniu al științei care se ocupă cu modelarea fenomenelor naturale, tehnologiei, economice și viata publica cu ajutorul unui aparat matematic si, in prezent, implementarea acestor modele cu ajutorul unui calculator

Mat de clasificare. modele După scop: simulare de optimizare descriptivă După natura ecuațiilor: liniar neliniar Prin luarea în considerare a modificărilor sistemului în timp: dinamic static După proprietatea domeniului de definire a argumentelor: continuu discret După natura procesului: stocastică deterministă

Model matematic- acesta este un set de obiecte matematice și relații dintre ele, reflectând în mod adecvat proprietățile și comportamentul obiectului studiat.

Matematica în sensul cel mai general se ocupă cu definirea și utilizarea modelelor simbolice. Un model matematic acoperă o clasă de obiecte matematice nedefinite (abstracte, simbolice), cum ar fi numere sau vectori, și relațiile dintre aceste obiecte.

O relație matematică este o regulă ipotetică care leagă două sau mai multe obiecte simbolice. Multe relații pot fi descrise folosind operații matematice care relaționează unul sau mai multe obiecte cu un alt obiect sau cu un set de obiecte (rezultatul unei operații). Modelul abstract, cu obiectele sale de natură arbitrară, relațiile și operațiile, este definit printr-un set consistent de reguli care introduc operații care pot fi utilizate și stabilesc relații generale între rezultatele acestora. Definiția constructivă introduce un nou model matematic, folosind concepte matematice deja cunoscute (de exemplu, definiția adunării și înmulțirii matricelor în termeni de adunare și înmulțire a numerelor).

Un model matematic va reproduce aspecte alese în mod corespunzător ale unei situații fizice dacă se poate stabili o regulă de corespondență care să lege anumite obiecte fizice și relații de anumite obiecte și relații matematice. De asemenea, poate fi instructiv și/sau interesant să construiești modele matematice pentru care lume fizică analogii nu exista. Cele mai cunoscute modele matematice sunt sistemele de numere întregi și reale și geometria euclidiană; proprietăţile definitorii ale acestor modele sunt abstracţii mai mult sau mai puţin directe ale proceselor fizice (numărare, ordonare, comparare, măsurare).

Obiectele și operațiile modelelor matematice mai generale sunt adesea asociate cu seturi de numere reale, care pot fi corelate cu rezultatele măsurătorilor fizice.

Modelarea matematică este o metodă de descriere calitativă și (sau) cantitativă a unui proces folosind așa-numitul model matematic, în construcția căruia este descris un proces sau fenomen real folosind unul sau altul aparat matematic adecvat. Modelarea matematică este o parte integrantă a cercetării moderne.

Modelarea matematică este o disciplină tipică situată, așa cum se spune adesea, la „joncțiunea” mai multor științe. Un model matematic adecvat nu poate fi construit fără cunoașterea profundă a obiectului care este „servit” de modelul matematic. Uneori se exprimă o speranță iluzorie că un model matematic poate fi creat împreună de un matematician care nu cunoaște obiectul modelării și un specialist în „obiect” care nu cunoaște matematica. Pentru o activitate de succes in domeniul modelarii matematice este necesara cunoasterea atat a metodelor matematice cat si a obiectului modelarii. Acest lucru este legat, de exemplu, de prezența unei astfel de specialități ca fizician teoretic, a cărui activitate principală este modelarea matematică în fizică. Împărțirea specialiștilor în teoreticieni și experimentatori, care s-a stabilit în fizică, va avea loc, fără îndoială, în alte științe, atât fundamentale, cât și aplicate.

Datorită varietatii de modele matematice aplicate, lor clasificare generala dificil. În literatură, de obicei sunt date clasificări, care se bazează pe abordări diferite. Una dintre aceste abordări este legată de natura procesului care se modelează, când se disting modelele deterministe și probabilistice. Alături de o clasificare atât de răspândită a modelelor matematice, există și altele.

Clasificarea modelelor matematice pe baza caracteristicilor aparatului matematic aplicat . Include următoarele soiuri.

De obicei, astfel de modele sunt folosite pentru a descrie dinamica sistemelor formate din elemente discrete. Din punct de vedere matematic, acestea sunt sisteme de ecuații diferențiale liniare sau neliniare obișnuite.

Modelele matematice cu parametrii concentrați sunt utilizate pe scară largă pentru a descrie sisteme formate din obiecte discrete sau seturi de obiecte identice. De exemplu, modelul dinamic al unui laser semiconductor este utilizat pe scară largă. În acest model apar două variabile dinamice - concentrațiile de purtători minori de sarcină și fotoni în zona activă a laserului.

În cazul sistemelor complexe, numărul de variabile dinamice și, în consecință, de ecuații diferențiale poate fi mare (până la 102 ... 103). În aceste cazuri, sunt utile diverse metode de reducere a sistemului, bazate pe ierarhia temporală a proceselor, evaluarea influenței diferiților factori și neglijarea celor nesemnificativi dintre aceștia etc.

Metoda extinderii succesive a modelului poate duce la crearea unui model adecvat sistem complex.

Modelele de acest tip descriu procesele de difuzie, de conducere a căldurii, de propagare a undelor de natură variată etc. Aceste procese pot fi nu numai de natură fizică. Modelele matematice cu parametri distribuiți sunt utilizate pe scară largă în biologie, fiziologie și alte științe. Cel mai adesea, ecuațiile fizicii matematice, inclusiv cele neliniare, sunt folosite ca bază a unui model matematic.

Rolul fundamental al principiului celei mai mari acțiuni în fizică este bine cunoscut. De exemplu, toate sistemele cunoscute de ecuații care descriu procese fizice pot fi derivate din principii extreme. Cu toate acestea, în alte științe principiile extreme joacă un rol esențial.

Principiul extremal este utilizat atunci când se aproximează dependențele empirice printr-o expresie analitică. Reprezentarea grafică a unei astfel de dependențe și forma specifică a expresiei analitice care descrie această dependență se determină folosind principiul extremal, numit metoda celor mai mici pătrate (metoda Gauss), a cărui esență este următoarea.

Să se efectueze un experiment, al cărui scop este studierea dependenței unei cantități fizice Y din cantitatea fizică X. Se presupune că valorile x și y legate prin dependență funcțională

Forma acestei dependențe trebuie determinată din experiență. Să presupunem că, în urma experimentului, am obținut un număr de puncte experimentale și am construit un grafic de dependență la din X. De obicei, punctele experimentale de pe un astfel de grafic nu sunt localizate destul de corect, dau o oarecare răspândire, adică dezvăluie abateri aleatorii de la modelul general vizibil. Aceste abateri sunt asociate cu erori de măsurare care sunt inevitabile în orice experiment. Apoi, se pune problema netezirii dependenței experimentale, care este tipică pentru practică.

Pentru a rezolva această problemă, se folosește de obicei o metodă de calcul, cunoscută sub numele de metoda celor mai mici pătrate (sau metoda Gauss).

Desigur, varietățile enumerate de modele matematice nu epuizează întregul aparat matematic folosit în modelarea matematică. Aparatul matematic al fizicii teoretice și, în special, secțiunea sa cea mai importantă, fizica particulelor elementare, este deosebit de divers.

Domeniile de aplicare a acestora sunt adesea folosite ca principiu principal al clasificării modelelor matematice. Prin această abordare, se disting următoarele domenii de aplicare:

procese fizice;

aplicații tehnice, inclusiv sisteme gestionate, inteligenţă artificială;

procesele vieții(biologie, fiziologie, medicină);

sisteme mari asociate cu interacțiunea oamenilor (sociale, economice, de mediu);

umaniste (lingvistică, artă).

(Domeniile de aplicare sunt enumerate în ordine descrescătoare în funcție de nivelul de adecvare al modelelor).

Tipuri de modele matematice: deterministe și probabiliste, factoriale teoretice și experimentale. Linear și neliniar, dinamic și static. continuu si discret, functional si structural.

Clasificarea modelelor matematice (TO - obiect tehnic)

Structura unui model este un set ordonat de elemente și relațiile lor. Un parametru este o valoare care caracterizează o proprietate sau un mod de operare a unui obiect. Parametrii de ieșire caracterizează proprietățile obiectului tehnic, iar parametrii interni caracterizează proprietățile elementelor acestuia. Parametrii externi sunt parametri Mediul extern, care afectează funcționarea obiectului tehnic.

Modelele matematice sunt supuse cerințelor de adecvare, economie, universalitate. Aceste afirmații sunt contradictorii.

În funcţie de gradul de abstractizare din descriere proprietăți fizice Sistemul tehnic distinge trei niveluri ierarhice principale: nivelul superior sau meta, nivelul mediu sau macro, nivelul inferior sau micro.

Nivelul meta corespunde etapelor inițiale de proiectare, la care se efectuează căutarea și prognoza științifică și tehnică1, dezvoltarea unui concept și a unei soluții tehnice și elaborarea unei propuneri tehnice. Pentru a construi modele matematice ale nivelului metalic, metodele de sinteză morfologică, teoria grafurilor, logica matematică, teoria control automat, teoria cozilor, teoria automatelor finite.

La nivel macro, un obiect este considerat ca un sistem dinamic cu parametrii concentrați. Modelele matematice ale macronivelului sunt sisteme de ecuații diferențiale obișnuite. Aceste modele sunt utilizate în determinarea parametrilor unui obiect tehnic și a elementelor sale funcționale.

La nivel micro, un obiect este reprezentat ca un mediu continuu cu parametri distribuiți. Pentru a descrie procesele de funcționare a unor astfel de obiecte, se folosesc ecuații cu diferențe parțiale. La nivel micro sunt proiectate elemente ale unui sistem tehnic care sunt indivizibile din punct de vedere al caracteristicilor funcționale, numite elemente de bază. În același timp, elementul de bază este considerat ca un sistem format dintr-un ansamblu de elemente funcționale similare de aceeași natură fizică, interacționând între ele și fiind influențate de mediul exterior și de alte elemente ale obiectului tehnic, care sunt exteriorul. mediu în raport cu elementul de bază.

După forma de reprezentare a modelelor matematice se disting modele invariante, algoritmice, analitice și grafice ale obiectului de proiectare.

LA invariant forma, modelul matematic este reprezentat de un sistem de ecuatii fara a tine cont de metoda de rezolvare a acestor ecuatii.

LA algoritmic sub formă de relații model sunt asociate cu metoda de soluție numerică aleasă și sunt scrise sub forma unui algoritm - o succesiune de calcule. Modelele algoritmice includ imitaţie, modele concepute pentru a simula procesele fizice și informaționale care au loc în obiect în timpul funcționării acestuia sub influența diverșilor factori de mediu.

Analitic modelul reprezintă dependențele explicite ale variabilelor dorite de valorile date (de obicei, dependențele parametrilor de ieșire ai obiectului de parametrii interni și externi). Astfel de modele sunt obținute pe baza legilor fizice sau ca rezultat al integrării directe a ecuațiilor diferențiale originale. Modelele matematice analitice facilitează și simplifică rezolvarea problemei determinării parametrilor optimi. Prin urmare, dacă este posibil să se obțină un model în această formă, este întotdeauna recomandabil să se implementeze, chiar dacă necesită efectuarea unui număr de proceduri auxiliare, astfel de modele sunt obținute de obicei prin proiectare experimentală (computațională sau fizică).

Grafic modelul (circuit) este reprezentat sub formă de grafice, circuite echivalente, modele dinamice, diagrame etc. Pentru a utiliza modele grafice, trebuie să existe o regulă de corespondență unu-la-unu imaginile condiționate elemente de grafică și componente ale modelelor matematice invariante.

Împărțirea modelelor matematice în cele funcționale și structurale este determinată de natura proprietăților afișate ale obiectului tehnic.

Structural modelele afișează doar structura obiectelor și sunt utilizate numai în rezolvarea problemelor de sinteză structurală. Parametrii modelelor structurale sunt semne ale elementelor funcționale sau structurale care alcătuiesc un obiect tehnic și în care o versiune a structurii obiectului diferă de alta. Acești parametri se numesc variabile morfologice. Modelele structurale iau forma de tabele, matrice și grafice. Cea mai promițătoare este utilizarea graficelor tip arbore de tip AND-OR-tree. Astfel de modele sunt utilizate pe scară largă la nivel meta atunci când alegeți o soluție tehnică.

Funcţional modelele descriu procesele de funcționare obiecte tehniceși au forma unor sisteme de ecuații. Acestea țin cont de proprietățile structurale și funcționale ale obiectului și permit rezolvarea problemelor atât de sinteză parametrică, cât și structurală. Sunt utilizate pe scară largă la toate nivelurile de design. La nivel meta, sarcinile funcționale permit rezolvarea problemelor de prognoză, la nivel macro - alegerea structurii și optimizarea parametrilor interni ai unui obiect tehnic, la nivel micro - optimizarea parametrilor elemente de baza.

Conform metodelor de obținere a modelelor matematice funcționale se împart în teoretice și experimentale.

Teoretic modelele sunt obținute pe baza descrierii proceselor fizice ale funcționării obiectului și experimental- pe baza comportamentului obiectului în mediul extern, considerându-l ca o „cutie neagră”. Experimentele în acest caz pot fi fizice (pe un obiect tehnic sau modelul său fizic) sau computaționale (pe un model matematic teoretic).

La construirea modelelor teoretice se folosesc abordări fizice și formale.

Abordarea fizică se reduce la aplicarea directă a legilor fizice pentru a descrie obiecte, de exemplu, legile lui Newton, Hooke, Kirchhoff etc.

Abordarea formală folosește principii matematice generale și este utilizată atât în ​​construcția de modele teoretice, cât și în cele experimentale. Modelele experimentale sunt formale. Ele nu iau în considerare întregul complex de proprietăți fizice ale elementelor sistemului tehnic studiat, ci doar stabilesc o legătură constatată în timpul experimentului între parametrii individuali ai sistemului, care poate fi variată și (sau) măsurată. Astfel de modele oferă o descriere adecvată a proceselor studiate doar într-o regiune limitată a spațiului parametrilor, în care parametrii au fost variați în experiment. Prin urmare, modelele matematice experimentale sunt de o natură specială, în timp ce legile fizice reflectă tiparele generale ale fenomenelor și proceselor care apar pe tot parcursul sistem tehnic, precum și în fiecare dintre elementele sale separat. În consecință, modelele matematice experimentale nu pot fi acceptate ca legi fizice. Cu toate acestea, metodele folosite pentru a construi aceste modele sunt utilizate pe scară largă în testarea ipotezelor științifice.

Modelele matematice funcționale pot fi liniare și neliniare. Liniar modelele conțin numai funcții liniare ale mărimii care caracterizează starea obiectului în timpul funcționării acestuia și derivatele lor. Caracteristicile multor elemente ale obiectelor reale sunt neliniare. Modelele matematice ale unor astfel de obiecte includ funcții neliniare ale acestor mărimi și derivatele lor și se referă la neliniară .

Dacă modelarea ia în considerare proprietățile inerțiale ale obiectului și (sau) schimbarea în timp a obiectului sau a mediului extern, atunci modelul se numește dinamic. Altfel modelul este static. Reprezentarea matematică a modelului dinamic în caz general poate fi exprimat printr-un sistem de ecuații diferențiale, iar static - printr-un sistem de ecuații algebrice.

Dacă impactul mediului asupra obiectului este de natură aleatorie și este descris prin funcții aleatorii. În acest caz, este necesar să se construiască probabilistică model matematic. Cu toate acestea, un astfel de model este foarte complex și utilizarea lui în proiectarea obiectelor tehnice necesită mult timp de calculator. Prin urmare, este folosit pentru stadiu final proiecta.

Majoritatea procedurilor de proiectare sunt efectuate pe modele deterministe. Un model matematic determinist este caracterizat de o corespondență unu-la-unu între o influență externă asupra unui sistem dinamic și răspunsul său la această influență. Într-un experiment de calcul, la proiectare, sunt de obicei stabilite unele acțiuni tipice standard asupra unui obiect: în trepte, impuls, armonice, liniară pe bucăți, exponențială etc. Ele sunt numite acțiuni de testare.

Continuarea Tabelului „Clasificarea modelelor matematice

Tipuri de modele matematice ale obiectelor tehnice
Luând în considerare proprietățile fizice ale TO	Prin capacitatea de a prezice rezultate
Dinamic	determinat
Static	Probabilistică
continuu
Discret
Liniar
În această etapă, se parcurg următorii pași. Se întocmește un plan pentru crearea și utilizarea unui model software. De regulă, programul model este creat folosind instrumente de automatizare de simulare pe computer. Prin urmare, planul indică: tipul calculatorului; instrument de automatizare de simulare; costurile aproximative ale memoriei computerului pentru crearea unui program model și a matricelor sale de lucru; costul timpului mașinii pentru un ciclu al modelului; estimări ale costurilor pentru programarea și depanarea programului model. Apoi cercetătorul începe să programeze modelul. La fel de termeni de referinta descriere pentru programare model de simulare. Specificul muncii de programare a modelelor depinde de instrumentele de automatizare a modelării care sunt disponibile cercetătorului. Nu există diferențe semnificative între crearea unui program model și depanarea obișnuită offline a modulelor de program program mare sau un pachet software.În conformitate cu textul, modelul este împărțit în blocuri și subblocuri. Spre deosebire de depanarea obișnuită offline a modulelor de program, la depanarea blocurilor și subblocurilor unui model de program, cantitatea de muncă crește semnificativ, deoarece pentru fiecare modul este necesar să se creeze și să depaneze un simulator de mediu extern. Este foarte important să se verifice implementarea funcțiilor modulului în timpul modelului t și să se estimeze costul timpului de calculator pentru un ciclu al modelului în funcție de valorile parametrilor modelului. Lucrările sunt finalizate în timpul depanării autonome a componentelor modelului prin pregătirea formularelor pentru reprezentarea datelor de intrare și de ieșire ale simulării. Apoi, treceți la a doua verificare a fiabilității programului model de sistem. În cadrul acestei verificări se stabilește corespondența operațiilor din program și descrierea modelului. Pentru aceasta se produce traducere inversă programe în schema modelului („defilarea” manuală vă permite să găsiți erori grave în statica modelului). După eliminarea erorilor grave, un număr de blocuri sunt combinate și depanarea complexă a modelului începe folosind teste. Depanarea testului începe cu câteva blocuri, apoi un număr tot mai mare de blocuri model sunt implicate în acest proces. Rețineți că depanarea complexă a programului model este mult mai dificilă decât depanarea pachetelor de aplicații, deoarece erorile de dinamică de simulare în acest caz sunt mult mai dificil de găsit din cauza funcționării cvasi-paralele a diferitelor componente ale modelului. La finalizarea depanării complexe a programului model, este necesar să se re-estimeze costurile timpului de calculator pentru un ciclu de calcule pe model. În acest caz, este util să se obțină o aproximare a timpului de simulare pentru un ciclu de simulare. Următorul pas este compilarea documentatie tehnica pentru un model de sistem complex. Până la sfârșitul depanării complexe a programului model, rezultatul etapei ar trebui să fie următoarele documente: descrierea modelului de simulare; descrierea programului model indicând sistemul de programare și notația acceptată; schema completă a programului model; înregistrarea completă a programului model în limbajul de modelare; dovada fiabilității programului model (rezultatele depanării complexe a programului model); descrierea valorilor de intrare și de ieșire cu explicațiile necesare (dimensiuni, scale, intervale de valori, simboluri); evaluarea costului timpului de calculator pentru un ciclu de simulare; instrucțiuni pentru lucrul cu programul model. Pentru a verifica adecvarea modelului la obiectul de studiu, după alcătuirea unei descriere formală a sistemului, cercetătorul întocmește un plan pentru efectuarea de experimente la scară largă cu un prototip de sistem. Dacă nu există un prototip al sistemului, atunci poate fi utilizat un sistem de IM imbricate, care diferă unul de celălalt prin gradul de detaliu al imitației acelorași fenomene. Apoi, modelul mai detaliat servește ca prototip pentru IM generalizat. Dacă este imposibil să construiți o astfel de secvență, fie din cauza lipsei de resurse pentru efectuarea acestei lucrări, fie din cauza informațiilor insuficiente, atunci se procedează fără verificarea adecvării IM. Conform acestui plan, în paralel cu depanarea IM, se efectuează o serie de experimente la scară largă pe un sistem real, în timpul cărora rezultatele controlului. Având la dispoziție rezultatele controlului și rezultatele testelor MI, cercetătorul verifică adecvarea modelului la obiect. Dacă în faza de depanare sunt găsite erori care pot fi corectate doar în fazele anterioare, poate avea loc o revenire la faza anterioară. Pe lângă documentația tehnică, rezultatele etapei sunt însoțite de o implementare automată a modelului (un program tradus în codul mașină al computerului pe care va avea loc simularea). Acesta este un pas important în crearea modelului. În acest caz, trebuie să faceți următoarele. În primul rând, asigurați-vă că dinamica dezvoltării algoritmului de modelare a obiectului de studiu este corectă în cursul simulării funcționării acestuia (pentru a verifica modelul). În al doilea rând, să se determine gradul de adecvare al modelului și al obiectului de studiu. Adecvarea unui model de simulare software la un obiect real este înțeleasă ca coincidența cu o acuratețe dată a vectorilor caracteristicilor comportamentului obiectului și modelului. În absența adecvării, modelul de simulare este calibrat („corectează” caracteristicile algoritmilor componente ale modelului). Prezența erorilor în interacțiunea componentelor modelului readuce cercetătorul la etapa creării unui model de simulare. Este posibil ca în cursul formalizării, cercetătorul să simplifice excesiv fenomenele fizice, excluzând din considerare o serie de aspecte importante ale funcționării sistemului, ceea ce a dus la inadecvarea modelului la obiect. În acest caz, cercetătorul trebuie să revină la stadiul formalizării sistemului. În cazurile în care alegerea metodei de formalizare s-a dovedit a fi nereușită, cercetătorul trebuie să repete etapa de compilare a unui model conceptual, ținând cont informație nouăși experiență emergentă. În cele din urmă, atunci când cercetătorul are informații insuficiente despre obiect, trebuie să revină la etapa de compilare a unei descrieri semnificative a sistemului și să o perfecționeze, ținând cont de rezultatele testării modelului de sistem anterior. În același timp, sunt evaluate acuratețea simulării fenomenelor, stabilitatea rezultatelor simulării și sensibilitatea criteriilor de calitate la modificările parametrilor modelului. Este foarte dificil să obțineți aceste estimări în unele cazuri. Cu toate acestea, fără rezultatele de succes ale acestei lucrări, nici dezvoltatorul, nici clientul IM nu vor avea încredere în model. Diferiți cercetători, în funcție de tipul de IM, au dezvoltat diferite interpretări ale conceptelor de acuratețe, stabilitate, staționaritate, sensibilitate a IM. Până în prezent, nu există o teorie general acceptată a imitației fenomenelor pe un computer. Fiecare cercetător trebuie să se bazeze pe experiența sa în organizarea simulării și pe înțelegerea sa a caracteristicilor obiectului de simulare. Precizia simulării fenomenelor este o evaluare a influenței elementelor stocastice asupra funcționării unui model de sistem complex. Stabilitatea rezultatelor simulării este caracterizată de convergența parametrului de simulare controlat la o anumită valoare cu creșterea timpului de simulare a unei variante a unui sistem complex. Staționaritatea modului de simulare caracterizează un anumit echilibru al proceselor în modelul de sistem, atunci când simularea ulterioară este lipsită de sens, deoarece cercetătorul nu va primi informații noi de la model, iar continuarea simulării conduce practic doar la o creștere a timpului computerului. Este necesar să se prevadă o astfel de posibilitate și să se dezvolte o metodă pentru determinarea momentului în care se ajunge la modul de simulare staționar. Sensibilitatea MI este reprezentată de valoarea incrementului minim al criteriului de calitate selectat, calculată din statisticile de simulare, cu variația secvențială a parametrilor de simulare pe întregul interval de modificări ale acestora. Această etapă începe cu proiectarea experimentului, permițând cercetătorului să obțină cele mai multe informații cu cel mai mic efort de calcul. Este necesară fundamentarea statistică a planului experimental. Planificarea experimentelor este o procedură de alegere a numărului și condițiilor de experimente necesare și suficiente pentru a rezolva problema cu acuratețea necesară. Totodată, sunt esenţiale următoarele: dorinţa de a minimiza numărul total de experimente, asigurând posibilitatea variaţiei simultane a tuturor variabilelor; utilizarea unui aparat matematic care formalizează multe dintre acțiunile experimentatorilor; alegerea unei strategii clare care vă permite să luați decizii în cunoștință de cauză după fiecare serie de experimente pe model. Apoi, cercetătorul procedează la efectuarea calculelor de lucru pe model. Acesta este un proces care necesită foarte mult timp, care necesită o resursă mare de computer și o abundență de muncă de birou. Trebuie remarcat faptul că, deja în primele etape ale creării unui IM, este necesar să se ia în considerare cu atenție compoziția și volumul informațiilor de modelare pentru a facilita în mod semnificativ analiza ulterioară a rezultatelor simulării. Rezultatul muncii sunt rezultatele simulării. Această etapă completează lanțul tehnologic de etape de creare și utilizare a modelelor de simulare. După ce a primit rezultatele simulării, cercetătorul procedează la interpretarea rezultatelor. Următoarele cicluri de simulare sunt posibile aici. În primul ciclu al experimentului de simulare, IM oferă în prealabil alegerea opțiunilor pentru sistemul studiat prin stabilirea condițiilor inițiale de simulare pentru programul mașinii modele. În al doilea ciclu al experimentului de simulare, modelul este modificat în limbajul de modelare și, prin urmare, este necesară retraducerea și editarea programului. Este posibil ca în cursul interpretării rezultatelor, cercetătorul să constate prezența unor erori fie la crearea modelului, fie la formalizarea obiectului de modelare. În aceste cazuri, se face o întoarcere la etapele de construire a unei descrieri a modelului de simulare sau, respectiv, de compilare a unui model conceptual al sistemului. Rezultatul etapei de interpretare a rezultatelor simulării sunt recomandări pentru proiectarea sistemului sau modificarea acestuia. Cu recomandările pe care le au la dispoziție, cercetătorii încep să ia decizii de proiectare. Interpretarea rezultatelor simulării este influențată semnificativ de capacitățile de imagistică ale computerului utilizat și de sistemul de simulare implementat pe acesta. 1. Cum se face clasificarea modelelor matematice pe baza caracteristicilor aparatului matematic aplicat. Rezumat de matematică Dezvoltarea unui model economic și matematic pentru optimizarea structurii sectoriale a producției în sectorul agricol