Математична модель- це сукупність математичних об'єктів та співвідношень між ними, що адекватно відображає властивості та поведінку досліджуваного об'єкта.
Математика у найзагальнішому сенсі слова має справу з визначенням та використанням символічних моделей. Математична модель охоплює клас невизначених (абстрактних, символічних) математичних об'єктів, таких як числа або вектори, і відносини між цими об'єктами.
Математичне відношення - це гіпотетичне правило, що пов'язує два або більше символічних об'єктів. Багато відносин можуть бути описані за допомогою математичних операцій, що пов'язують один або кілька об'єктів з іншим об'єктом або безліччю об'єктів (результатом операції). Абстрактна модель з її об'єктами довільної природи, відносинами та операціями визначається несуперечливим набором правил, що вводять операції, якими можна користуватися, та встановлюють спільні відносини між їхніми результатами. Конструктивне визначення вводить нову математичну модель, користуючись вже відомими математичними поняттями (наприклад, визначення складання та множення матриць у термінах складання та множення чисел).
Математична модель відтворюватиме відповідним чином обрані сторони фізичної ситуації, якщо можна встановити правило відповідності, що пов'язує специфічні фізичні об'єкти та відносини з певними математичними об'єктами та відносинами. Повчальною та/або цікавою може також бути і побудова математичних моделей, для яких фізичному світіаналогів немає. Найбільш загальновідомими математичними моделями є системи цілих та дійсних чисел та евклідова геометрія; визначальні властивості цих моделей є більш-менш безпосередні абстракції фізичних процесів (рахунок, впорядкування, порівняння, вимір).
Об'єкти та операції більш загальних математичних моделей часто асоціюються з безліччю дійсних чисел, які можуть бути співвіднесені з результатами фізичних вимірів.
Математичне моделювання - метод якісного та (або) кількісного описупроцесу за допомогою, так званої математичної моделі, При побудові якої реальний процес або явище описується за допомогою того чи іншого адекватного математичного апарату Математичне моделювання є невід'ємною частиною сучасного дослідження.
Математичне моделювання є типовою дисципліною, яка перебуває, як нині часто кажуть, на “стику” кількох наук. Адекватна математична модель може бути побудована без глибокого знання того об'єкта, який “обслуговується” математичною моделлю. Іноді висловлюється ілюзорна надія, що математична модель може бути створена спільно математиком, який не знає об'єкта моделювання, і фахівцем з “об'єкту”, який не знає математики. Для успішної діяльності в області математичного моделюваннянеобхідно знати як математичні методи, і об'єкт моделювання. Із цим пов'язано, наприклад, наявність такої спеціальності як фізик теоретик, основною діяльністю якого є математичне моделювання у фізиці. Поділ фахівців на теоретиків та експериментаторів, що утвердився у фізиці, безсумнівно, відбудеться і в інших науках, як фундаментальних, так і прикладних.
З огляду на різноманітність застосовуваних математичних моделей, їх загальна класифікаціяутруднена. У літературі зазвичай наводять класифікації, основою яких покладено різні підходи. Один з таких підходів пов'язаний з характером процесу, що моделюється, коли виділяють детерміновані і ймовірнісні моделі. Поряд з такою широко поширеною класифікацією математичних моделей є й інші.
Класифікація математичних моделей на основі особливостей застосовуваного математичного апарату . У ньому можна назвати такі їх різновиди.
Зазвичай з допомогою таких моделей описують динаміку систем, які з дискретних елементів. З математичного боку - це системи звичайних лінійних чи нелінійних диференціальних рівнянь.
Математичні моделі із зосередженими параметрами широко застосовуються для опису систем, що складаються з дискретних об'єктів чи сукупностей ідентичних об'єктів. Наприклад, широко використовується динамічна модель напівпровідникового лазера. У цій моделі фігурують дві динамічні змінні – концентрації неосновних носіїв заряду та фотонів у активній зоні лазера.
В разі складних системчисло динамічних змінних і, отже, диференціальних рівнянь то, можливо велике (до 102… 103). У цих випадках корисні різні методиредукції системи, засновані на тимчасовій ієрархії процесів, оцінці впливу різних факторів та зневажанні несуттєвими серед них та ін.
Метод послідовного розширення моделі може спричинити створення адекватної моделі складної системи.
Моделями цього описуються процеси дифузії, теплопровідності, поширення хвиль різної природи тощо. ці процеси може бути як фізичної природи. Математичні моделі з розподіленими параметрами поширені у біології, фізіології та інших науках. Найчастіше як основа математичної моделі застосовують рівняння математичної фізики, у тому числі і нелінійні.
Загальновідома основна роль принципу дії у фізиці. Наприклад, всі відомі системи рівнянь, що описують фізичні процеси, можна вивести з екстремальних принципів. Проте й інших науках екстремальні принципи грають істотну роль.
Екстремальний принцип використовується при апроксимації емпіричних залежностей аналітичним виразом. Графічне зображення такої залежності і конкретний вид аналітичного виразу, що описує цю залежність, визначають за допомогою екстремального принципу, який отримав назву методу найменших квадратів (метод Гауса), суть якого полягає в наступному.
Нехай проводиться досвід, метою якого є дослідження залежності певної фізичної величини Yвід фізичної величини X.Передбачається, що величини х і упов'язані функціональною залежністю
Вигляд цієї залежності потрібно визначити з досвіду. Припустимо, що в результаті досвіду отримали низку експериментальних точок та побудували графік залежності увід х. Зазвичай експериментальні точки на такому графіку розташовуються не зовсім правильно, дають певний розкид, тобто виявляють випадкові відхилення від загальної видимої закономірності. Ці відхилення пов'язані з неминучими при кожному досвіді помилками виміру. Тоді виникає типове для практики завдання згладжування експериментальної залежності.
Для вирішення цієї задачі зазвичай застосовується розрахунковий метод, відомий під назвою методу найменших квадратів (або метод Гаусса).
Вочевидь, перелічені різновиди математичних моделей не вичерпують весь математичний апарат, застосовуваний у математичному моделюванні. Особливо різноманітний математичний апарат теоретичної фізики та, зокрема, її найважливішого розділу – фізики елементарних частинок.
Як основний принцип класифікації математичних моделей часто використовують галузі їх застосування. При такому підході виділяються такі сфери застосування:
фізичні процеси;
технічні програми, у тому числі керовані системи, штучний інтелект;
життєві процеси(Біологія, фізіологія, медицина);
великі системи, пов'язані із взаємодією людей (соціальні, економічні, екологічні);
гуманітарні науки (мовознавство, мистецтво).
(Області застосування вказані у порядку, що відповідає зменшенню рівня адекватності моделей).
Види математичних моделей: детерміновані та імовірнісні, теоретичні та експериментальні факторні. Лінійні та нелінійні, динамічні та статичні. безперервні та дискретні, функціональні та структурні.
Класифікація математичних моделей (ТО – технічний об'єкт)
Структура моделі - це впорядковане безліч елементів та його відносин. Параметр – це величина, що характеризує властивість чи режим роботи об'єкта. Вихідні параметри характеризують властивості технічного об'єкта, а внутрішні параметри – властивості його елементів. Зовнішні параметри – це параметри зовнішнього середовища, що впливає на функціонування технічного об'єкта
До математичних моделей пред'являються вимоги адекватності, економічності, універсальності. Ці вимоги суперечливі.
Залежно від ступеня абстрагування під час опису фізичних властивостейТехнічною системою розрізняють три основні ієрархічні рівні: верхній або метарівень, середній або макрорівень, нижній або мікрорівень.
Метарівень відповідає початковим стадіям проектування, на яких здійснюється науково-технічний пошук і прогнозування, розробка концепції та технічного рішення, розробка технічної пропозиції. Для побудови математичних моделей метарівня використовують методи морфологічного синтезу, теорії графів, математичної логіки, теорії автоматичного керування, теорії масового обслуговування, теорії кінцевих автоматів
На макрорівні об'єкт сприймається як динамічна система із зосередженими параметрами. Математичні моделі макрорівня являють собою системи звичайних диференціальних рівнянь. Ці моделі використовують для визначення параметрів технічного об'єкта та його функціональних елементів.
На мікрорівні об'єкт представляється як суцільна середа з розподіленими параметрами. Для опису процесів функціонування таких об'єктів використовують диференціальні рівняння у приватних похідних. На мікрорівні проектують неподільні за функціональною ознакою елементи технічної системи, які називаються базовими елементами. При цьому базовий елемент розглядається як система, що складається з безлічі однотипних функціональних елементів однієї і тієї ж фізичної природи, що взаємодіють між собою і знаходяться під впливом зовнішнього середовища та інших елементів технічного об'єкта, що є зовнішнім середовищем по відношенню до базового елементу.
За формою представлення математичних моделей розрізняють інваріантну, алгоритмічну, аналітичну та графічну моделі об'єкта проектування.
В інваріантноїФормі математична модель є системою рівнянь поза у зв'язку з шляхом вирішення цих рівнянь.
В алгоритмічноїФормі співвідношення моделі пов'язані з обраним чисельним методом розв'язання та записані у вигляді алгоритму – послідовності обчислень. Серед алгоритмічних моделей виділяють імітаційнімоделі призначені для імітації фізичних та інформаційних процесів, що протікають в об'єкті при його функціонуванні під впливом різних факторів зовнішнього середовища.
Аналітичнамодель є явні залежності шуканих змінних від заданих величин (зазвичай залежності вихідних параметрів об'єкта від внутрішніх та зовнішніх параметрів). Такі моделі отримують з урахуванням фізичних законів, чи результаті прямого інтегрування вихідних диференціальних рівнянь. Аналітичні математичні моделі дозволяють легко і легко вирішувати завдання визначення оптимальних параметрів. Тому, якщо надається можливість отримання моделі в такому вигляді, її завжди доцільно реалізувати, навіть якщо при цьому доведеться виконати ряд допоміжних процедур, такі моделі зазвичай отримують методом планування експерименту (обчислювального або фізичного).
Графічна(схемна) модель представляється як графів, еквівалентних схем, динамічних моделей, діаграм тощо. Для використання графічних моделей має існувати правило однозначної відповідності умовних зображень елементів графічної та компонентів інваріантної математичних моделей.
Розподіл математичних моделей на функціональні і структурні визначається характером властивостей технічного об'єкта, що відображаються.
Структурнімоделі відображають лише структуру об'єктів і використовуються лише при вирішенні задач структурного синтезу. Параметрами структурних моделей є ознаки функціональних чи конструктивних елементів, у тому числі складається технічний об'єкт і якими один варіант структури об'єкта відрізняється від другого. Ці параметри називають морфологічними зміненими. Структурні моделі мають форму таблиць, матриць та графів. Найбільш перспективне застосування деревоподібних графів типу І-або-дерева. Такі моделі широко використовують на метарівні під час виборів технічного рішення.
Функціональнімоделі описують процеси функціонування технічних об'єктівта мають форму систем рівнянь. Вони враховують структурні та функціональні властивості об'єкта та дозволяють вирішувати завдання як параметричного, так і структурного синтезу. Їх широко використовують на всіх рівнях проектування. На метарівні функціональні завдання дозволяють вирішувати завдання прогнозування, на макрорівні – вибору структури та оптимізації внутрішніх параметрів технічного об'єкта, на мікрорівні – оптимізації параметрів базових елементів.
ПО способам отримання функціональні математичні моделі поділяються на теоретичні та експериментальні.
Теоретичнімоделі отримують на основі опису фізичних процесів функціонування об'єкта, а експериментальні- на основі поведінки об'єкта у зовнішньому середовищі, розглядаючи його як “чорну скриньку”. Експерименти у своїй може бути фізичні (на технічному об'єкті чи його фізичної моделі) чи обчислювальні (на теоретичної математичної моделі).
При побудові теоретичних моделей використовується фізичний та формальний підходи.
Фізичний підхід зводиться до безпосереднього застосування фізичних законів для опису об'єктів, наприклад законів Ньютона, Гука, Кірхгофа і т.д.
Формальний підхід використовує загальні математичні принципи та застосовується при побудові як теоретичних, і експериментальних моделей. Експериментальні моделі – формальні. Вони не враховують всього комплексу фізичних властивостей елементів досліджуваної технічної системи, а лише встановлюють зв'язок, що виявляється в процесі експерименту, між окремими параметрами системи, які вдається варіювати і (або) здійснювати їх вимірювання. Такі моделі дають адекватне опис досліджуваних процесів лише обмеженої області простору параметрів, у якій здійснювалося варіювання параметрів експериментально. Тому експериментальні математичні моделі мають приватний характер, тоді як фізичні закони відбивають загальні закономірності явищ і процесів, що протікають як у всій технічної системи, і у кожному її елементі окремо. Отже, експериментальні математичні моделі неможливо знайти прийняті як фізичних законів. Разом про те методи, застосовувані побудови цих моделей широко використовуються під час перевірки наукових гіпотез.
Функціональні математичні моделі можуть бути лінійні та нелінійні. Лінійнімоделі містять лише лінійні функції величин, що характеризують стан об'єкта при його функціонуванні, та їх похідних. Характеристики багатьох елементів реальних об'єктів є нелінійними. Математичні моделі таких об'єктів включають нелінійні функції цих величин та їх похідних та відносяться до нелінійним .
Якщо при моделюванні враховуються інерційні властивості об'єкта та (або) зміна в часі об'єкта або зовнішнього середовища, то модель називають динамічної. В іншому випадку модель - статична. Математичне уявлення динамічної моделі у випадку може бути виражено системою диференціальних рівнянь, а статичної - системою алгебраїчних рівнянь.
Якщо вплив зовнішнього середовища на об'єкт носить випадковий характер і описується випадковими функціями. В цьому випадку потрібна побудова імовірніснийматематичні моделі. Однак така модель дуже складна і її використання під час проектування технічних об'єктів потребує великих витрат машинного часу. Тому її застосовують на заключному етапіпроектування.
Більшість проектних процедур виконуються на детермінованих моделях. Детермінована математична модель характеризується взаємно однозначною відповідністю між зовнішнім впливомна динамічну систему та її реакцією цього вплив. У обчислювальному експерименті при проектуванні зазвичай задають деякі стандартні типові на об'єкт: ступінчасті, імпульсні, гармонійні, кусочно-линейные, експоненціальні та інших. Їх називають тестовими впливами.
Продовження Таблиці “Класифікація математичних моделей
Види математичних моделей технічних об'єктів |
|
По обліку фізичних властивостей ТО | По можливості прогнозування результатів |
Динамічні | Детерміновані |
Статичні | Імовірнісні |
Безперервні |
|
Дискретні |
|
Лінійні |
|
| На цьому етапі виконуються такі дії. Складається план створення та використання програмної моделі. Зазвичай, програма моделі створюється з допомогою засобів автоматизації моделювання на ЕОМ. Тож у плані вказуються: тип ЕОМ; засіб автоматизації моделювання; зразкові витрати пам'яті ЕОМ створення програми моделі та її робочих масивів; витрати машинного часу на один цикл роботи моделі; оцінки витрат на програмування та налагодження програми моделі. Потім дослідник розпочинає програмування моделі. В якості технічного завданняна програмування служить опис імітаційної моделі. Специфіка робіт із програмування моделі залежить від засобів автоматизації моделювання, які доступні досліднику. Не існує значних відмінностей створення програми моделі від звичайного автономного налагодження програмних модулів великої програми або пакета програм. Відповідно до тексту проводиться розподіл моделі на блоки та підблоки. На відміну від звичайного автономного налагодження програмних модулів, при автономному налагодженні блоків та підблоків програмної моделі обсяг робіт суттєво збільшується, оскільки для кожного модуля необхідно створити та налагодити ще імітатор зовнішнього оточення. Дуже суттєво вивірити реалізацію функцій модуля в модельному часі t та оцінити витрати машинного часу на один цикл роботи моделі як функцію від значень параметрів моделі. Завершуються роботи при автономному налагодженні компонент моделі підготовкою форм представлення вхідних та вихідних даних моделювання. Далі переходять до другої перевірки достовірності програми моделі системи. У процесі цієї перевірки встановлюється відповідність операцій у програмі та опис моделі. Для цього проводиться зворотний перекладпрограми в схему моделі (ручне «прокручування» дозволяє знайти грубі помилки статики моделі) . Після виключення грубих помилок ряд блоків поєднується і починається комплексне налагодження моделі з використанням тестів. Налагодження за тестами починається з кількох блоків, потім у цей процес залучається дедалі більше блоків моделі. Зазначимо, що комплексне налагодження програми моделі набагато складніше за налагодження пакетів прикладних програм, оскільки помилки динаміки моделювання в цьому випадку знайти значно важче внаслідок квазіпаралельної роботи різних компонентів моделі. По завершенні комплексного налагодження програми моделі необхідно знову оцінити витрати машинного часу однією цикл розрахунків на моделі. При цьому корисно отримати апроксимацію часу моделювання на один цикл імітації. Наступним процесом є складання технічної документації на модель складної системи. Результатом етапу до моменту закінчення комплексного налагодження програми моделі мають бути наступні документи:
Для перевірки адекватності моделі об'єкту дослідження після складання формального опису системи дослідник складає план проведення натурних експериментів із прототипом системи. Якщо прототип системи відсутня, можна використовувати систему вкладених ІМ, що відрізняються один від одного ступенем деталізації імітації одних і тих же явищ. Тоді більш детальна модель служить як прототип для узагальненої ІМ. Якщо ж побудувати таку послідовність неможливо або через відсутність ресурсів виконання цієї роботи, або через недостатність інформації, то обходяться без перевірки адекватності ІМ. Відповідно до цього плану паралельно з налагодженням ІМ здійснюється серія натурних експериментів на реальній системі, в ході яких накопичуються контрольні результати. Маючи у своєму розпорядженні контрольні результати та результати випробувань ІМ, дослідник перевіряє адекватність моделі об'єкту. При виявленні помилок на етапі налагодження, що усувається тільки на попередніх етапах, може мати місце повернення на попередній етап. Крім технічної документації до результатів етапу додається машинна реалізація моделі (програма, відтрансльована в машинному коді ЕОМ, де відбуватиметься імітація). Це найважливіший етап створення моделі. При цьому необхідно виконати таке. По-перше, переконатися у правильності динаміки розвитку алгоритму моделювання об'єкта дослідження під час імітації його функціонування (провести верифікацію моделі). По-друге, визначити ступінь адекватності моделі та об'єкта дослідження. Під адекватністю програмної імітаційної моделі реальному об'єкту розуміють збіг із заданою точністю векторів характеристик поведінки об'єкта та моделі. За відсутності адекватності проводять калібрування імітаційної моделі («підправляють» характеристики алгоритмів компонентів моделі). Наявність помилок у взаємодії компонентів моделі повертає дослідника до етапу створення імітаційної моделі. Можливо, що під час формалізації дослідник занадто спростив фізичні явища, виключив із розгляду низку важливих сторін функціонування системи, що призвело до неадекватності моделі об'єкту. І тут дослідник повинен повернутися до етапу формалізації системи. У тих випадках, коли вибір способу формалізації виявився невдалим, досліднику необхідно повторити етап складання концептуальної моделі з урахуванням нової інформації та досвіду, що з'явився. Нарешті, коли в дослідника виявилося недостатньо інформації про об'єкт, він має повернутися до етапу складання змістовного опису системи та уточнити його з урахуванням результатів випробування попередньої моделі системи. При цьому оцінюються точність імітації явищ, стабільність результатів моделювання, чутливість критеріїв якості до зміни параметрів моделі. Отримати ці оцінки часом буває дуже складно. Однак без успішних результатів цієї роботи довіри до моделі не буде ні розробник, ні замовник ІМ. У різних дослідників залежно від виду ІМ склалися різні інтерпретації понять точності, стійкості, стаціонарності, чутливості ІМ. Поки немає загальноприйнятої теорії імітації явищ на ЕОМ. Кожному досліднику доводиться покладатися на власний досвід організації імітації і своє розуміння особливостей об'єкта моделювання. Точність імітації явищ є оцінкою впливу стохастичних елементів на функціонування моделі складної системи. Стійкість результатів моделювання характеризується збіжністю контрольованого параметра моделювання до певної величини зі збільшенням часу моделювання варіанта складної системи. Стаціонарність режиму моделювання характеризує собою деяку рівновагу процесів, що встановилися в моделі системи, коли подальша імітація безглузда, оскільки нової інформації з моделі дослідник не отримає і продовження імітації практично призводить тільки до збільшення витрат машинного часу. Таку можливість необхідно передбачити та розробити спосіб визначення моменту досягнення стаціонарного режиму моделювання. Чутливість ІМ є величиною мінімального збільшення обраного критерію якості, що обчислюється за статистиками моделювання, при послідовному варіюванні параметрів моделювання на всьому діапазоні їх змін. Цей етап починається зі складання плану експерименту, що дозволяє досліднику отримати максимум інформації за мінімальних зусиль на обчислення. Обов'язковим є статистичне обґрунтування плану експерименту. Планування експерименту є процедуру вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю. При цьому суттєво наступне: прагнення мінімізації загальної кількості дослідів, забезпечення можливості одночасного варіювання всіма змінними; використання математичного апарату, що формалізує багато дій експериментаторів; Вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів на моделі. Потім дослідник розпочинає проведення робочих розрахунків на моделі. Це дуже трудомісткий процес, що вимагає високих витрат ресурсу ЕОМ та великої кількості канцелярської роботи. Зазначимо, що на ранніх етапах створення ІМ необхідно ретельно продумувати склад та обсяги інформації моделювання, щоб істотно полегшити подальший аналіз результатів імітації. Підсумком роботи є результати моделювання. Даний етап завершує технологічний ланцюжок етапів створення та використання імітаційних моделей. Отримавши результати моделювання, дослідник розпочинає інтерпретацію результатів. Тут можливі такі цикли імітації. У першому циклі імітаційного експерименту в ІМ заздалегідь передбачено вибір варіантів системи, що досліджується шляхом завдання початкових умов імітації для машинної програми моделі. У другому циклі імітаційного експерименту модель модифікується мовою моделювання, і тому потрібна повторна трансляція та редагування програми. Можливо, що під час інтерпретації результатів дослідник встановив наявність помилок або під час створення моделі, або за формалізації об'єкта моделювання. У цих випадках здійснюється повернення на етапи побудови опису імітаційної моделі або складання концептуальної моделі системи відповідно. Результатом етапу інтерпретації результатів моделювання є рекомендації щодо проектування системи або її модифікації. Маючи у своєму розпорядженні рекомендації, дослідники приступають до ухвалення проектних рішень. На інтерпретацію результатів моделювання істотно впливають образотворчі можливості використовуваної ЕОМ та реалізованої на ній системи моделювання. 1. Як проводиться класифікація математичних моделей з урахуванням особливостей застосовуваного математичного апарату. Реферат з математики Розробка економіко-математичної моделі з оптимізації галузевої структури виробництва у СГ |
Опис презентації з окремих слайдів:
1 слайд
Опис слайду:
2 слайд
Опис слайду:
Математична модель - математичне уявлення реальності, один із варіантів моделі, як системи, дослідження якої дозволяє отримувати інформацію про якусь іншу систему. Процес побудови та вивчення математичних моделей називається математичним моделюванням. Всі природничі та суспільні науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють об'єкт дослідження його математичною моделлю і потім вивчають останню. Зв'язок математичної моделі з реальністю здійснюється за допомогою ланцюжка гіпотез, ідеалізацій та спрощень. За допомогою математичних методівописується, зазвичай, ідеальний об'єкт, побудований на етапі змістовного моделювання. Загальні відомості
3 слайд
Опис слайду:
Ніяке визначення не може в повному обсязі охопити реальну діяльність з математичного моделювання. Незважаючи на це, визначення корисні тим, що в них робиться спроба виділити найістотніші риси. По Ляпунову, математичне моделювання - це опосередковане практичне або теоретичне дослідження об'єкта, при якому безпосередньо вивчається не сам об'єкт, що цікавить нас, а деяка допоміжна штучна або природна система (модель), що знаходиться в деякій об'єктивній відповідності з пізнаваним об'єктом, здатна замінювати його в певних і дає при її дослідженні, зрештою, інформацію про самому моделюваному об'єкті. В інших випадках, математична модель визначається як об'єкт-заступник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу, як «„еквівалент“ об'єкта, що відображає в математичній формі найважливіші його властивості - закони, яким він підпорядковується, зв'язки, притаманні його частинам», як систему рівнянь, або арифметичних співвідношень, або геометричних фігур, або комбінацію того й іншого, дослідження яких засобами математики має відповісти на поставлені питання про властивості деякої сукупності властивостей об'єкта реального світу, як сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту чи системі. Визначення
4 слайд
Опис слайду:
Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один із популярних наборів дихотомій: Лінійні чи нелінійні моделі; Зосереджені чи розподілені системи; Детерміновані чи стохастичні; Статичні чи динамічні; Дискретні чи безперервні тощо. Кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною, … Природно, що можливі і змішані типи: в одному відношенні зосереджені (у частині параметрів), в іншому – розподілені моделі тощо. Формальна класифікація моделей
5 слайд
Опис слайду:
Поряд із формальною класифікацією, моделі розрізняються за способом уявлення об'єкта: Структурні або функціональні моделі. Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм та механізмом функціонування. Функціональні моделі не використовують таких уявлень і відображають лише поведінку (функціонування) об'єкта, що зовні сприймається. У їхньому граничному вираженні вони називаються також моделями «чорного ящика». Можливі також комбіновані типимоделей, які іноді називають моделями сірого ящика. Математичні моделі складних систем можна розділити на три типи: Моделі типу чорна скринька (феноменологічні), Моделі типу сірий ящик (суміш феноменологічних та механістичних моделей), Моделі типу білий ящик(механістичні, аксіоматичні). Схематичне представлення моделей типу чорний ящик, сірий ящик і білий ящик Класифікація за способом представлення об'єкта
6 слайд
Опис слайду:
Майже всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель. Усталеної термінології тут немає, інші автори називають цей ідеальний об'єкт концептуальна модель, умоглядна модель або передмодель. При цьому фінальна математична конструкція називається формальною моделлю або просто математичною моделлю, одержаною в результаті формалізації даної змістовної моделі (предмоделі). Побудова змістовної моделі може здійснюватися за допомогою набору готових ідеалізацій, як у механіці, де ідеальні пружини, тверді тіла, ідеальні маятники, пружні середовища тощо дають готові структурні елементи змістовного моделювання. Однак у галузях знання, де не існує повністю завершених формалізованих теорій (передній край фізики, біології, економіки, соціології, психології та більшості інших областей), створення змістовних моделей різко ускладнюється. Змістовні та формальні моделі
7 слайд
Опис слайду:
У роботі Пайерлса дана класифікація математичних моделей, що використовуються у фізиці та, ширше, у природничих науках. У книзі А. Н. Горбаня та Р. Г. Хлібопроса ця класифікація проаналізована та розширена. Ця класифікація сфокусована насамперед на етапі побудови змістовної моделі. Гіпотеза Моделі першого типу - гіпотези («таке могло б бути»), «є пробним описом явища, причому автор або вірить у його можливість, або вважає навіть його істинним». За Пайерлсом це, наприклад, модель Сонячної системи Птолемею і модель Коперника (удосконалена Кеплером), модель атома Резерфорда і модель Великого Вибуху. Моделі-гіпотези в науці не можуть бути доведені раз і назавжди, можна лише говорити про їх спростування чи незаперечення в результаті експерименту. Якщо модель першого типу побудована, це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися на інших проблемах. Однак це не може бути точкою у дослідженнях, але лише тимчасовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише тимчасовим. Феноменологічна модель Другий тип - феноменологічна модель («ведемо себе так, ніби…»), містить механізм для опису явища, хоча цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт . Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома і необхідно продовжити пошук «істинних механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплорода та кваркову модель елементарних частинок. Роль моделі в дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно нове знання може поступово суперечити моделям-гіпотезам першого типу, і ті можуть бути переведені в другий. Змістовна класифікація моделей
8 слайд
Опис слайду:
Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою. Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайерлс виділяє три типи спрощень у моделюванні. Третій тип моделей - наближення («щось вважаємо дуже великим або дуже малим»). Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад – закон Ома. Якщо ми використовуємо модель ідеального газу для опису досить розріджених газів, це модель типу 3 (наближення). При більш високих густинах газу теж корисно уявляти собі простішу ситуацію з ідеальним газом для якісного розуміння та оцінок, але тоді це вже тип 4. Спрощення Четвертий тип - спрощення («опустимо для ясності деякі деталі»), у такій відкидаються деталі, які можуть помітно та не завжди контрольовано вплинути на результат. Одні й самі рівняння можуть бути моделлю типу 3 (наближення) чи 4 (опустимо для ясності деякі деталі) - це залежить від явища, вивчення якого використовується модель. Так, якщо моделі лінійного відгуку застосовуються за відсутності більш складних моделей (тобто не проводиться лінеаризація нелінійних рівнянь, а просто шукаються лінійні рівняння, що описують об'єкт), то це вже феноменологічні лінійні моделі, і відносяться вони до наступного типу 4 (всі нелінійні деталі для ясності» опускаємо). Приклади: застосування моделі ідеального газу до неідеального, рівняння стану Ван-дер-Ваальса, більшість моделей фізики твердого тіла, рідин та ядерної фізики. Шлях від мікроопису до властивостей тіл (або середовищ), що складаються з великої кількості частинок, Змістова класифікація моделей (продовження)
9 слайд
Опис слайду:
дуже довгий. Доводиться відкидати багато деталей. Це призводить до моделей четвертого типу. Евристична модель П'ятий тип - евристична модель («кількісного підтвердження немає, але модель сприяє глибшому проникненню в суть справи»), така модель зберігає лише якісну подобу реальності та дає передбачення лише «за порядком величини». Типовий приклад - наближення середньої довжини вільного пробігу у кінетичній теорії. Воно дає прості формули коефіцієнтів в'язкості, дифузії, теплопровідності, що узгоджуються з реальністю по порядку величини. Але при побудові нової фізики далеко не відразу виходить модель, яка дає хоча б якісний опис об'єкта – модель п'ятого типу. У цьому випадку часто використовують модель за аналогією, що відображає дійсність хоч якоюсь межею. Тип шостий - модель-аналогія («врахуємо тільки деякі особливості»). Пайерлс наводить історію використання аналогій у першій статті Гейзенберга про природу ядерних сил. Думковий експеримент Сьомий тип моделей - уявний експеримент («головне полягає у спростуванні можливості»). Такий тип моделювання часто використовувався Ейнштейном, зокрема, один із таких експериментів призвів до побудови спеціальної теорії відносності. Припустимо, що у класичній фізиці ми рухаємося за світловою хвилею зі швидкістю світла. Ми будемо спостерігати електромагнітне поле, що періодично змінюється в просторі і постійне в часі. Відповідно до рівнянь Максвелла, цього не може. Звідси Ейнштейн уклав: або закони природи змінюються при зміні системи відліку, або швидкість світла залежить від системи відліку, і вибрав другий варіант. Демонстрація можливості Восьмий тип - демонстрація можливості («головне - показати внутрішню несуперечність можливості»), такого роду моделі теж уявні експерименти з уявними сутностями, що демонструють, що передбачуване явище узгоджується з базовими принципами і змістовною класифікацією моделей (продовження).
10 слайд
Опис слайду:
внутрішньо несуперечливе. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя. Один із найзнаменитіших таких експериментів – геометрія Лобачевського. (Лобачевський називав її «уявною геометрією».) Інший приклад - масове виробництвоформально-кінетичних моделей хімічних та біологічних коливань, автохвиль. Парадокс Ейнштейна – Подільського – Розена був задуманий як уявний експеримент для демонстрації суперечливості квантової механіки, але незапланованим чином згодом перетворився на модель 8 типу – демонстрацію можливості квантової телепортації інформації. В основі змістовної класифікації - етапи, що передують математичному аналізу та обчисленням. Вісім типів моделей за Пайєрлсом є вісім типів дослідницьких позицій при моделюванні. Змістовна класифікація моделей (продовження)
11 слайд
Опис слайду:
12 слайд
Опис слайду:
практично марною. Найчастіше проста модель дозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, ніж складніша (і, формально, «правильніша»). Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, її змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія («врахуємо лише деякі особливості»). Приклад (продовження)
13 слайд
Опис слайду:
14 слайд
Опис слайду:
Найважливіші математичні моделі зазвичай мають важливим властивістю універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однієї й тієї математичної моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, але й інші коливальні процеси, які часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини в U-подібній посудині або зміна сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо одразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, що виражаються математичними моделями у різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення загальної теорії систем. Універсальність моделей
15 слайд
Опис слайду:
Існує безліч завдань, пов'язаних із математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему об'єкта, що моделюється, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється на систему пластин і складніших тіл з різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики міцності), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються як несуттєві, проводяться розрахунки, порівнюються з вимірами, модель уточнюється, і так далі. Проте розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи. Традиційно виділяють два основні класи задач, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні. Пряме завдання: структура моделі та її параметри вважаються відомими, головне завдання - провести дослідження моделі для отримання корисного знання об'єкт. Яке статичне навантаження витримає міст? Як він реагуватиме на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдатів, або на проходження поїзда на різній швидкості), як літак подолає звуковий бар'єрЧи не розвалиться він від флаттера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильного прямого завдання (завдання правильного питання) вимагає спеціальної майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо була побудована гарна модельна його поведінки. Так, в 1879 р. у Великобританії обрушився металевий залізничний міст через річку Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про вітри, що постійно дмуть у тих місцях. І через півтора роки він звалився. У найпростішому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже просте і зводиться до явного вирішення цього рівняння. Зворотне завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних. Пряма та зворотна задачі математичного моделювання
«Системний підхід у моделюванні» - Процес – динамічна зміна системи у часі. Система - сукупність взаємозалежних елементів, що утворюють цілісність чи єдність. Пітер Фердінанд Дракер. Системний підхід у організаціях. Системний підхід як основа запровадження профільного навчання. Засновники системного підходу: Структура- спосіб взаємодії елементів системи у вигляді певних зв'язків.
ISO 20022 - Елементи методології міжнародного стандарту. Зіставлення складу та властивостей. Призначення. Процес моделювання. Особливості методології. Результати моделювання. Відкритість та розвиток. Міграція. Назва Міжнародного стандарту. Аспекти універсальності. Інструментарій. Діяльність. склад документів.
«Поняття моделі та моделювання» - Види моделей за галузями знань. Види моделей. Основні поняття. Види моделей, залежно від часу. Види моделей, залежно від зовнішніх розмірів. Адекватність моделей. Зразково-знакові моделі. Необхідність створення моделей. Моделювання. Моделі моделювання.
«Моделі та моделювання» - Зміна розмірів та пропорцій. Математична модель-модель, представлена мовою математичних відносин. Блок-схема - один із спеціальних різновидів графа. Аналіз об'єкта. Структурна модель-представлення інформаційної знакової моделі як структури. Реальне явище. Анотація. Вербальні.
"Етапи розробки моделі" - Описові інформаційні моделі зазвичай будуються з використанням природних мов та малюнків. Побудова описової інформаційної моделі. Основні етапи розробки та дослідження моделей на комп'ютері. 4 етап. 1 етап. 5 етап. Модель сонячної системи. Практичне завдання. 3 етап. 2 етап.
«Моделювання як спосіб пізнання» - У біології – класифікація тваринного світу. Визначення. Визначення. У фізиці – інформаційна модель найпростіших механізмів. Моделювання як спосіб пізнання. Форми представлення інформаційних моделей. Таблична модель. Процес побудови інформаційних моделей з допомогою формальних мов називається формалізацією.
Всього у темі 18 презентацій
Алгоритмскладання математичної моделі:
- Скласти короткий запис умови завдання:
А) з'ясувати, скільки величин бере участь у задачі;
Б) виявити зв'язок між цими величинами.
2. Зробити малюнок до задачі (у задачах на рух або задачах геометричного змісту) або таблицю.
3. Позначити за Х одну з величин (краще меншу величину).
4. З огляду на зв'язки, скласти математичну модель.
Задача1. (№ 86 (1)).
Квартира складається із 3 кімнат загальною площею 42 кв.м. Перша кімната вдвічі менша за другу, а друга – на 3 кв. м більше за третю. Яка площа кожної кімнати у цій квартирі?
Завдання 2. (№ 86(2)).
За книгу, ручку та зошит Сашко заплатив 11200р. Ручка в 3 рази дорожча за зошит і на 700 р. дешевше за книгу. Скільки коштує зошит?
Завдання 3. (№ 86 (3)).
Мотоцикліст проїхав відстань між двома містами, рівну
980 км., за 4 дні. У перший день він проїхав на 80 км менше, ніж у другий день, у третій день - половину відстані, пройденої за перші два дні, а в четвертий день - 140 км, що залишилися. Яку відстань проїхав мотоцикліст третього дня?
Завдання 4. (№ 86 (4))
Периметр чотирикутника дорівнює 46 дм. Перша його сторона в 2 рази менша за другу і в 3 рази менша за третю сторону, а четверта сторона на 4 см більша за першу сторону. Чому рівні довжини сторін цього чотирикутника?
Завдання 5. (№ 87)
Одне з чисел на 17 менше за друге, а їх сума дорівнює 75. Знайти більше з цих чисел.
Завдання 6. (№ 99)
У трьох відділеннях концерту виступило 20 учасників. У другому відділенні виступило втричі менше учасників, ніж у першому, а третьому відділенні – на 5 учасників більше, ніж у другому. Скільки учасників концерту виступило у кожному відділенні?
Я вмію (або ні):
Вміння
Бали
0 або 1
Виявляти число величин, що у задачі
Виявляти зв'язки між величинами
Я розумію, що означає
В) "всього"
Я можу скласти математичну модель
Я можу скласти нове завданняза заданою математичною моделлю
Домашнє завдання:
1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);
2) Скласти завдання до математичної моделі задачі
Література 1. Самарський А. А., Михайлов А. П. Математичне моделювання: Ідеї. Методи. Приклади. - М.: Наука, Волков Є. А. Чисельні методи. - М.: Наука, Турчак Л. І. Основи чисельних методів. - М.: Наука, Копченова Н. В., Марон І. А. Обчислювальна математика в прикладах та задачах. - М.: Наука, 1972.
Трохи історії від маніпуляції предметами до маніпуляцій поняттями про предмети заміна досліджуваного об'єкта, процесу або явища більш простим і доступним для дослідження еквівалентом неможливість врахувати всю сукупність факторів, що визначають властивості та поведінку об'єкта
Роль моделей Будівля – некрасива, неміцна або не вписується в навколишній пейзаж Демонстрація систем кровообігу на натурі негуманна Напруги, наприклад, у крилах, можуть виявитися занадто великими Збирати електричні ланцюги для вимірювань неекономічно
Зв'язок моделі з оригіналом Створення моделі передбачає збереження якихось властивостей оригіналу, причому в різних моделяхці властивості можуть бути різними. Будівля з картону набагато менша за справжню, але дозволяє судити про неї зовнішньому вигляді; плакат робить зрозумілою систему кровообігу, хоча нічого спільного не має з органами та тканинами; макет літака не літає, але напруги у його корпусі відповідають умовам польоту.
Чому використовують моделі? 1.Модель доступніша для дослідження, ніж реальний об'єкт; 2.Дослідити модель простіше і дешевше, ніж реальні об'єкти; неможливі експерименти з минулим, неприпустимі експерименти з економікою чи соціальні експерименти
Призначення моделей 1.За допомогою моделі можна виявити найважливіші чинники, що формують властивості об'єкта. Оскільки модель відображає лише деякі характеристики об'єкта - оригіналу, то, варіюючи набір цих характеристик у складі моделі, можна визначити ступінь впливу тих чи інших факторів на адекватність поведінки моделі
Модель потрібна: 1.Для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт: яка його структура, властивості, закони розвитку та взаємодії з навколишнім світом. 2.Для того, щоб навчитися керувати об'єктом або процесом та визначити найкращі способиуправління при заданих цілях та критеріях. 3.Для того, щоб прогнозувати поведінку об'єкта та оцінити наслідки різних способів та форм впливу на об'єкт (метеорологічні моделі, моделі розвитку біосфери).
Властивість правильної моделі Правильно побудована, хороша модель має чудову властивість: її вивчення дозволяє отримати нові знання про об'єкт - оригінал, незважаючи на те, що при створенні моделі використовувалися лише деякі основні характеристики оригіналу
Матеріальне моделювання Модель відтворює основні геометричні, фізичні, динамічні та функціональні характеристики об'єкта, що досліджується, коли реальному об'єкту зіставляється його збільшена або зменшена копія, що допускає дослідження в лабораторних умовах з подальшим перенесенням властивостей досліджуваних процесів і явищ з моделі на об'єкт на основі теорії подібності (планетарій, моделі будівель та апаратів тощо). Процес дослідження у разі тісно пов'язані з матеріальним впливом на модель, т. е. полягає у натурному експерименті. Таким чином, матеріальне моделювання за своєю природою є експериментальним методом.
Типи ідеального моделювання Інтуїтивне – моделювання об'єктів, що не піддаються формалізації або не потребують її. Життєвий досвід людини можна вважати його інтуїтивною моделлю навколишнього світу Знакове – моделювання, що використовує як моделі різного виду: схеми, графіки, креслення, формули і т. д. і містить сукупність законів, за якими можна оперувати з елементами моделі
Математичне моделювання дослідження об'єкта здійснюють на основі моделі, сформульованої мовою математики та досліджуваної за допомогою тих чи інших математичних методів Математичне моделювання – це область науки, що займається моделюванням явищ природи, техніки, економічної та суспільного життяза допомогою математичного апарату і в даний час реалізує ці моделі за допомогою ЕОМ
Класифікація мат. моделей За призначенням: дескриптивні оптимізаційні імітаційні За характером рівнянь: лінійні нелінійні За врахуванням зміни системи у часі: динамічні статичні За властивістю області визначення аргументів: безперервні дискретні За характером процесу: детерміновані стохастичні
Планування будинку, плани будинків та котеджів
Малий бізнес - ідеї виробництва вдома
Історія JANOME. Швейні машини. Janome, Veritas, Pfaff Швейна машинка janome виробник країна
Робота з системою tattis
Властивості міді та її застосування