Exemples de modèles mathématiques dans la présentation de la technologie. Présentation pour la leçon "compilation de modèles mathématiques". Classification selon le type de jeux de paramètres utilisés

Fondamentaux de la modélisation mathématique

SV Zvonarev
Fondamentaux des mathématiques
la modélisation
Conférence n ° 2. Les modèles mathématiques et leurs classifications
Iekaterinbourg
2012

Le but de la leçon

Définir le concept de modèle mathématique.
Étudier le modèle mathématique généralisé.
Envisager la classification modèles mathématiques.
2 Modèle mathématique.
Modèle mathématique généralisé.
.
Le degré de correspondance du modèle mathématique à l'objet.
Classification des modèles mathématiques.
3

Modèle mathématique

MODÈLE MATHÉMATIQUE
4

Modèle mathématique

Un modèle mathématique est un ensemble d'équations
ou d'autres relations mathématiques reflétant les principales
propriétés de l'objet ou du phénomène à l'étude dans le cadre des
spéculatif
physique
des modèles
et
particularités
le sien
interaction avec l'environnement.
Les principales propriétés des modèles mathématiques sont :
adéquation;
simplicité.
Le processus de formulation d'un modèle mathématique est appelé
réglage de la tâche.
Le modèle mathématique est un analogue mathématique
l'objet conçu. Le degré d'adéquation de son objet
est déterminé par la formulation et l'exactitude des solutions au problème
motif.
5

Modélisation mathématique

Modèle mathématique d'un objet technique -
ensemble d'équations et de relations mathématiques
entre eux, ce qui reflète adéquatement les propriétés
de l'objet à l'étude, d'intérêt pour le chercheur
(ingénieur).
La modélisation mathématique est idéale
modélisation formelle symbolique scientifique, dans laquelle
la description de l'objet est effectuée dans le langage des mathématiques, et
l'étude du modèle est réalisée à l'aide de ceux ou
autres méthodes mathématiques.
Méthodes pour trouver l'extremum d'une fonction de plusieurs
variables avec des contraintes souvent différentes
appelé
méthodes
mathématique
programmation.
6

Modèle mathématique généralisé

Éléments du modèle mathématique généralisé :
ensemble de données d'entrée (variables) X,Y ;
opérateur mathématique L ;
ensemble de données de sortie (variables) G(X,Y).
7

Des données d'entrée

X est un ensemble de variables variables, qui
forme l'espace des paramètres variables Rx
(espace de recherche), qui est métrique avec
dimension
n,
égal
Numéro
variable
paramètres.
Y est un ensemble de variables indépendantes (constantes),
qui forme l'espace métrique de l'entrée
Données Ry. Lorsque chaque composant
l'espace Ry est donné par l'éventail des
valeurs,
beaucoup de
indépendant
variables
affiché
quelques
limité
sous-espace de l'espace Ry.
8

Variables indépendantes Y

Ils définissent l'environnement du fonctionnement de l'objet, c'est-à-dire
externe
termes,
dans
qui
sera
travailler
objet conçu. Ceux-ci peuvent inclure :
paramètres techniques de l'objet qui ne sont pas soumis à
changement dans le processus de conception ;
physique
perturbations environnementales,
l'objet de conception interagit ;
Avec
qui
paramètres tactiques à atteindre
objet de conception.
9

Opérateur mathématique et sortie

L'opérateur mathématique L est un système complet
opérations mathématiques qui décrivent des nombres ou
relations logiques entre les ensembles d'entrées et
données de sortie (variables). il est en train de définir
opérations sur les données d'entrée.
Ensemble de données de sortie (variables) G(X,Y)
est un ensemble de fonctions critères,
y compris (si nécessaire) la fonction objectif.
Données de sortie du modèle généralisé considéré
forment un espace métrique de critères
Indicateurs RG.
10

Non-linéarité des modèles mathématiques

Non-linéarité des modèles mathématiques
‒ violation du principe
superpositions, c'est-à-dire lorsqu'aucune combinaison linéaire de solutions n'est
est la solution au problème. Ainsi la connaissance du comportement de la pièce
l'objet ne garantit pas encore la connaissance du comportement de l'objet entier.
Majorité
réel
processus
et
pertinent
leur
les modèles mathématiques ne sont pas linéaires. Les modèles linéaires sont responsables
cas très particuliers et, en règle générale, ne servent que le premier
se rapprochant de la réalité.
Exemple - les modèles de population deviennent immédiatement non linéaires,
si l'on tient compte de la population disponible limitée
Ressources.
11

Le degré de correspondance des modèles mathématiques à l'objet

Des difficultés:
Le modèle mathématique n'est jamais identique
l'objet en question et ne transmet pas toutes ses propriétés et
Caractéristiques.
Le modèle mathématique est une description approximative
objet et est toujours approximatif.
La précision de l'appariement est déterminée par le degré d'appariement,
adéquation du modèle et de l'objet. Façons:
Utiliser l'expérience (pratique) pour comparer les modèles et
choisir celui qui convient le mieux.
Unification des modèles mathématiques grâce à l'accumulation d'ensembles
modèles finis.
Transfert de modèles finis d'un processus à un autre,
identique, semblable.
En utilisant le nombre minimum d'approximations et de comptabilisation
influences perturbatrices.
12

Classification des modèles mathématiques

CLASSIFICATION
MODÈLES MATHÉMATIQUES
13

Classes de modèles mathématiques

Les modèles mathématiques sont divisés en classes dans
selon:
complexité de l'objet de modélisation ;
opérateur modèle ;
paramètres d'entrée et de sortie ;
objectifs de modélisation ;
méthode d'étude du modèle;
objets d'étude;
appartenance du modèle au niveau hiérarchique
descriptions d'objets ;
la nature des biens affichés ;
procédure de calcul ;
utilisation du contrôle de processus.
14

Classification par complexité d'objet

À
Facile
des modèles
à
la modélisation
ne pas
considéré structure interne objet, non
ressortir
constituants
le sien
éléments
ou
sous-processus.
Le système d'objets est un système d'autant plus complexe,
qui est une collection de relations interdépendantes
éléments, séparés de environnement et
interagir avec lui dans son ensemble.
15

Classement par opérateur modèle

mathématique
maquette
appelé
linéaire si l'opérateur fournit
linéaire
dépendance
fin de semaine
paramètres
de
valeurs
saisir
paramètres.
mathématique
maquette
appelé
non linéaire si l'opérateur fournit
non linéaire
dépendance
fin de semaine
paramètres
de
valeurs
saisir
paramètres.
Le modèle mathématique est simple si l'opérateur du modèle est
algébrique
expression,
réfléchissant
fonctionnel
dépendance des paramètres de sortie sur ceux d'entrée.
Modèle comprenant des systèmes de différentiel et d'intégrale
relations sont dites complexes.
Un modèle est dit algorithmique lorsqu'il est possible de construire
un imitateur du comportement et des propriétés d'un objet à l'aide d'un algorithme.
16

Classification par paramètres d'entrée et de sortie

17

Classification selon la nature du processus modélisé

déterministe,
qui
correspondre
processus déterministes strictement
relation non ambiguë entre grandeurs physiques,
caractérisant l'état du système dans n'importe quel
moment
temps.
déterministe
maquette
permet de calculer et de prédire sans ambiguïté
valeurs des valeurs de sortie en fonction des valeurs de l'entrée
paramètres et actions de contrôle.
Indéfinie, qui vient du fait que
un changement dans les quantités de définition se produit
aléatoirement, et les valeurs des grandeurs de sortie
sont en correspondance probabiliste avec l'entrée
quantités et ne sont pas déterminés de manière unique.
18

Modèles non définis

Stochastique - valeurs de tous les paramètres ou de paramètres individuels
les modèles sont déterminés par des variables aléatoires données
densités de probabilité.
Aléatoire - valeurs de tous les paramètres ou de paramètres individuels du modèle
sont fixés par des variables aléatoires données par des estimations
densités de probabilité obtenues à la suite du traitement
échantillon expérimental limité de ces paramètres.
Intervalle - valeurs de tous les paramètres ou de paramètres individuels
les modèles sont décrits par des valeurs d'intervalle données par
l'intervalle formé par le minimum et le maximum
valeurs possibles du paramètre.
Fuzzy - valeurs de tous les paramètres ou de certains paramètres du modèle
sont décrites par les fonctions d'appartenance des
ensemble flou.
19

Classification en fonction de la dimension de l'espace

Unidimensionnel.
Bidimensionnel.
Tridimensionnel.
Cette division s'applique aux modèles, y compris
paramètres
qui
sont inclus
coordonnées
espace.
20

Classement par rapport au temps

Statique. Si l'état du système n'est pas

statique. Simulation statique
sert à décrire l'état d'un objet dans
point fixe dans le temps.
Dynamique. Si l'état du système
change avec le temps, alors les modèles sont appelés
dynamique. Simulation dynamique
sert à étudier l'objet dans le temps.
21

Classification selon le type de jeux de paramètres utilisés

Qualité.
Quantitatif.
Discret.
Continu.
Mixte.
22

Classement par objectifs de modélisation

Descriptif. Le but de ces modèles est d'établir des lois
modifier les paramètres du modèle. Un exemple est un modèle de mouvement de fusée après
lancer depuis la surface de la terre.
Optimisation. Ces modèles sont conçus pour déterminer
paramètres optimaux du point de vue de certains critères
de l'objet simulé ou pour trouver le mode optimal
contrôle de certains processus. Un exemple d'un tel modèle est
servir de simulation du processus de lancement d'une fusée depuis la surface de la Terre avec
dans le but de le soulever à une hauteur donnée en un minimum de temps.
Managérial. Ces modèles sont utilisés pour rendre efficace
décisions de gestion en divers domaines déterminé
23
activités humaines.

Classement par méthode de mise en œuvre

Analytique. Les méthodes analytiques sont plus pratiques pour
analyse ultérieure des résultats, mais ne s'appliquent qu'aux
modèles relativement simples. Si le mathématique
problème admet une solution analytique, alors il est considéré
le numérique est préféré.
Algorithmique. Les méthodes algorithmiques sont réduites à
quelques
algorithme
exécution
l'informatique
24
expérimenter à l'aide d'un ordinateur.

Classification par objets d'étude

Objets avec un haut degré d'information. si en cours
modélisation, des systèmes complets d'équations sont connus,
décrivant tous les aspects du processus modélisé et tous
valeurs numériques des paramètres de ces équations.
Objets avec un niveau d'information nul. Mathématique
le modèle d'un tel objet est construit sur la base de statistiques
données expérimentales.
Objets avec des régularités de base connues.
Valeurs des constantes dans les équations mathématiques de description
les modèles sont établis à partir de l'expérience.
Objets dont le comportement est connu
caractère empirique. Ils utilisent des méthodes
modélisation physique à l'aide de mathématiques
planification d'expériences.
25

Classement selon le modèle appartenant au niveau hiérarchique de la description de l'objet

Niveau micro
(typique
processus
sommes
transfert de masse,
thermophysique,
hydrodynamique).
La modélisation
effectué
dans
fins
la synthèse
procédé technologique pour un ou plusieurs
agrégats.
Niveau macro. Modélisation des processus avec plus
haut niveau d'agrégation; les modèles sont utilisés pour la synthèse
contrôle de processus actuel pour un
unité ou complexe technologique dans son ensemble.
Métaniveau. Simulation de processus dans l'agrégat
agrégats et en les connectant matière et énergie
ruisseaux. De tels modèles servent à la synthèse des technologies
complexe dans son ensemble, c'est-à-dire pour la synthèse du contrôle
développement.
26

Classement par la nature des propriétés affichées du modèle

Fonctionnel
des modèles.
Sont utilisés,
pour
descriptifs
processus physiques et informationnels se produisant pendant
le fonctionnement de l'objet.
De construction
des modèles.
Décris
composé
et
interconnexions
éléments du système (processus, objet).
27

Classement par ordre de calcul

Direct. Utilisé pour déterminer la cinétique,
modèles statiques et dynamiques de processus.
Inverse
(inversion).
Sont utilisés
pour
déterminer la valeur des paramètres d'entrée ou d'autres
propriétés spécifiées des substances traitées ou
produits, ainsi que pour déterminer les produits acceptables
déviations des modes de traitement (problèmes d'optimisation
processus et paramètres de l'appareil).
Inductif.
Appliquer
pour
éclaircissements
équations mathématiques de la cinétique, de la statique ou
la dynamique des processus en utilisant de nouvelles hypothèses ou
théories.
28

Classification par utilisation du contrôle de processus

Modèles de prévision ou modèles de calcul sans contrôle.
Le but principal de ces modèles est de prédire le comportement
systèmes dans le temps et dans l'espace, connaissant l'état initial
et des informations sur son comportement à la frontière. Exemples -modèles
distribution de chaleur, champ électrique, chimique
cinétique, hydrodynamique.
modèles d'optimisation.
– Modèles stationnaires. Utilisé au niveau de la conception
divers
technologique
systèmes.
Exemples
‒
tâches déterministes, toutes informations d'entrée dans lequel
est tout à fait définissable.
– Non stationnaire
des modèles.
Sont utilisés
sur le
niveau
conception, et, principalement, pour une
gestion de divers processus - technologiques,
économiques, etc. Dans ces problèmes, certains paramètres sont
aléatoire ou contiennent un élément d'incertitude.
29 Hypothèse.
Modèle phénoménologique.
Approximation.
Simplification.
modèle heuristique.
Analogie.
Expérience de pensée.
Possibilité démonstration.
30

Hypothèse

Ces modèles sont à l'essai
description du phénomène. Si un tel modèle est construit, alors
cela signifie qu'elle est temporairement reconnue comme la vérité
et vous pouvez vous concentrer sur d'autres problèmes.
Cependant, cela ne peut pas être le but de la recherche, et
seulement une pause temporaire : l'état du modèle peut être
seulement temporaire.
Exemples:
Modèle système solaire selon Ptolémée.
Le modèle copernicien (amélioré par Kepler).
Le modèle atomique de Rutherford.
Modèle Big Bang.
et etc.
31

Modèle phénoménologique

Ce modèle contient un mécanisme de description du phénomène.
Cependant, ce mécanisme n'est pas assez convaincant et ne peut être
confirmé par les données disponibles ou peu cohérent avec
les théories disponibles et les connaissances accumulées sur l'objet.
Par conséquent, les modèles phénoménologiques ont le statut de modèles temporaires.
solutions. Le rôle du modèle dans l'étude peut changer avec
avec le temps, il peut arriver que de nouvelles données et théories
confirmer les modèles phénoménologiques et ils seront mis à jour pour
statut d'hypothèse. De même, de nouvelles connaissances peuvent progressivement
entrent en conflit avec les modèles-hypothèses du premier type et celles
peut être traduit dans la seconde.
Exemples:
Le modèle calorifique.
Modèle Quark des particules élémentaires.
et etc.
32

Approximation

Une pratique courante quand vous ne pouvez pas
résoudre des équations même à l'aide d'un ordinateur,
description du système à l'étude - utilisation
approximations. Les équations sont remplacées par des linéaires.
L'exemple type est la loi d'Ohm.
33

Simplification

Ce modèle supprime les pièces qui
peut affecter sensiblement et pas toujours de manière contrôlable
résultat.
Exemples:
Application du modèle d'un gaz parfait à un gaz non idéal.
Équation d'état de Van der Waals.
La plupart des modèles de physique du solide,
liquides et physique nucléaire. Le chemin de la microdescription à
propriétés des corps (ou milieux) constitués d'un grand nombre
particules, très longues. Beaucoup doivent être jetés
détails.
34

modèle heuristique

Le modèle heuristique ne conserve que le qualitatif
semblant de réalité et ne donne des prédictions que « selon
ordre de grandeur."
Il donne des formules simples pour les coefficients
viscosité, diffusion, conductivité thermique, constante
avec la réalité en ordre de grandeur. Mais à
la construction d'une nouvelle physique est loin d'être immédiatement acquise
un modèle qui donne au moins une description qualitative de l'objet.
Un exemple typique est l'approximation de la longueur moyenne
libre parcours en théorie cinétique.
35

Analogie

Cette
maquette
première
surgi,
lorsque
l'interaction dans le système neutron-proton essayé
expliquer par l'interaction de l'atome
hydrogène avec un proton. Cette analogie a conduit à
la conclusion qu'il doit y avoir échange
les forces d'interaction entre le neutron et le proton,
due à la transition d'un électron entre deux
protons.
36

Expérience de pensée et démonstration de possibilité

Une expérience de pensée est un raisonnement
ce qui conduit finalement à une contradiction.
La démonstration de la possibilité est aussi mentale
expériences
Avec
imaginé
entités
démontrer,
Quel
censé
phénomène
conformément aux principes de base et en interne
cohérent. L'un des plus célèbres d'entre eux
expériences - Géométrie Lobachevsky.
37

Conclusion et conclusion

Le concept de modèle mathématique est considéré.
Un modèle mathématique généralisé a été étudié.
Les concepts sont définis : non linéarité des modèles mathématiques et degré
correspondance du modèle mathématique à l'objet.
La classification des modèles mathématiques est présentée.
38 Samarsky, A.A. Modélisation mathématique / A.A. Samara,
A.P. Mikhaïlov. – M. : Sciences. Fizmatlit, 1997.
Tarasevitch, N.N. Modélisation mathématique et informatique.
Cours d'initiation / N.N. Tarasevitch. – M. : Éditorial URSS, 2001.
Introduction à la modélisation mathématique : Uch. allocation / sous
édité par P.V. Trousova. – M. : Cahier universitaire, Logos, 2007. –
440 s.

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Modélisation mathématique

c'est une description approximative d'une certaine classe de phénomènes, exprimée dans la langue de certains théorie mathématique(à l'aide d'un système d'équations et d'inéquations algébriques, d'équations différentielles ou intégrales, de fonctions, d'un système d'énoncés géométriques, de vecteurs, etc.).

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Classement des modèles

Classification formelle des modèles La classification formelle des modèles est basée sur la classification des outils mathématiques utilisés. Souvent construit sous forme de dichotomies. Par exemple, l'un des ensembles populaires de dichotomies : Modèles linéaires ou non linéaires[ ; Systèmes concentrés ou distribués ; Déterministe ou stochastique ; Statique ou dynamique ; discrète ou continue. etc. Chaque modèle construit est linéaire ou non linéaire, déterministe ou stochastique, ... Naturellement, des types mixtes sont également possibles : concentrés sur un point (en termes de paramètres), modèles distribués sur un autre, etc.

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Classification selon le mode de représentation d'un objet Modèles structurels ou fonctionnels Les modèles structurels représentent un objet comme un système avec son propre dispositif et mécanisme de fonctionnement. Les modèles fonctionnels n'utilisent pas de telles représentations et ne reflètent que le comportement (fonctionnement) perçu de l'extérieur de l'objet. Dans leur expression extrême, ils sont aussi appelés modèles "boîte noire". Aussi possible types combinés modèles, parfois appelés modèles de boîte grise.

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Modèles significatifs et formels Presque tous les auteurs décrivant le processus de modélisation mathématique soulignent que d'abord une construction idéale spéciale, un modèle significatif, est construit. Et la construction mathématique finale est appelée modèle formel ou simplement modèle mathématique obtenu à la suite de la formalisation de ce modèle de contenu. La construction d'un modèle significatif peut être réalisée à l'aide d'un ensemble d'idéalisations toutes faites, c'est-à-dire qu'elles fournissent des éléments structurels prêts à l'emploi pour une modélisation significative.

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Type 1 : Hypothèse (cela pourrait être)

Ces modèles "représentent une description d'essai du phénomène, et l'auteur croit en sa possibilité, ou même le considère comme vrai". Aucune hypothèse scientifique ne peut être prouvée une fois pour toutes. Richard Feynman l'a formulé très clairement : Si un modèle du premier type est construit, cela signifie qu'il est temporairement reconnu comme vrai et que l'on peut se concentrer sur d'autres problèmes. Cependant, cela ne peut pas être un point de recherche, mais seulement une pause temporaire : le statut du modèle du premier type ne peut être que temporaire.

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Type 2 : Modèle phénoménologique (se comporter comme si...)

Les modèles phénoménologiques ont le statut de solutions temporaires. On pense que la réponse est encore inconnue et qu'il faut continuer la recherche de "vrais mécanismes". Le rôle du modèle dans la recherche peut évoluer dans le temps, il peut arriver que de nouvelles données et théories viennent confirmer les modèles phénoménologiques et qu'ils soient promus au statut d'hypothèse. De même, les connaissances nouvelles peuvent progressivement entrer en conflit avec les modèles-hypothèses du premier type, et elles peuvent être transférées au second.

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Type 3 : Approximation (considérez quelque chose de très grand ou de très petit)

S'il est possible de construire des équations décrivant le système étudié, cela ne signifie pas qu'elles puissent être résolues même à l'aide d'un ordinateur. Une technique courante dans ce cas est l'utilisation d'approximations (modèles de type 3). Parmi eux se trouvent des modèles de réponse linéaire. Les équations sont remplacées par des linéaires.

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Type 4 : Simplifier (en omettant certains détails pour plus de clarté)

Dans un modèle de type 4, les détails qui peuvent affecter sensiblement et pas toujours de manière contrôlable le résultat sont ignorés. Les mêmes équations peuvent servir de modèle de type 3 (approximation) ou 4 (nous omettons certains détails pour plus de clarté) - cela dépend du phénomène pour lequel le modèle est utilisé pour étudier. Ainsi, si des modèles de réponse linéaire sont utilisés en l'absence de modèles plus complexes, alors ce sont déjà des modèles linéaires phénoménologiques.

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Type 5 : Modèle heuristique (pas de confirmation quantitative, mais le modèle donne un aperçu)

Le modèle heuristique ne retient qu'une similitude qualitative avec la réalité et ne fait des prédictions que "par ordre de grandeur". Il donne des formules simples pour les coefficients de viscosité, diffusion, conductivité thermique, conformes à la réalité par ordre de grandeur.

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Type 6 : Analogie (nous ne prendrons en compte que certaines fonctionnalités)

Similitude, égalité des relations ; la similitude des objets, des phénomènes, des processus, des quantités ..., dans toutes les propriétés, ainsi que des connaissances, en ne prenant en compte que certaines des caractéristiques.

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Type 7 : Expérience de pensée (l'essentiel est de réfuter la possibilité)

voir activité cognitive, dans lequel la situation clé pour une théorie scientifique particulière se joue non pas dans une expérience réelle, mais dans l'imagination. Dans certains cas, une expérience de pensée révèle des contradictions entre la théorie et la "conscience ordinaire", ce qui n'est pas toujours la preuve de l'inexactitude de la théorie.

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Type 8 : Démonstration de la possibilité (l'essentiel est de montrer la cohérence interne de la possibilité)

Ce sont aussi des expériences de pensée avec des entités imaginaires, démontrant que le phénomène allégué est cohérent avec les principes de base et est cohérent en interne. C'est la principale différence avec les modèles de type 7, qui révèlent des contradictions cachées. La classification substantielle est basée sur les étapes précédant l'analyse mathématique et les calculs. Huit types de modèles selon R. Peierls sont huit types de postes de recherche en modélisation.

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Principales étapes de la modélisation mathématique

1. Construire un modèle. A ce stade, un objet "non mathématique" est spécifié - un phénomène naturel, une structure, projet économique, processus de fabrication etc. En même temps, en règle générale, une description claire de la situation est difficile. Premièrement, les principales caractéristiques du phénomène et la relation entre elles au niveau qualitatif sont identifiées. Ensuite, les dépendances qualitatives trouvées sont formulées dans le langage des mathématiques, c'est-à-dire qu'un modèle mathématique est construit. C'est la partie la plus difficile de la modélisation.

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2. Solutions problème mathématique, auquel conduit le modèle. À ce stade grande attention est donné au développement d'algorithmes et de méthodes numériques pour résoudre un problème sur un ordinateur, à l'aide desquels le résultat peut être trouvé avec la précision requise et dans un délai acceptable. 3. Interprétation des conséquences obtenues à partir du modèle mathématique. Les conséquences dérivées du modèle en langage mathématique sont interprétées dans le langage accepté dans ce domaine.

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4. Vérification de l'adéquation du modèle. A ce stade, il est déterminé si les résultats de l'expérience sont en accord avec les conséquences théoriques du modèle avec une certaine précision. 5. Modification du modèle. A ce stade, soit le modèle se complexifie pour mieux correspondre à la réalité, soit il se simplifie pour aboutir à une solution pratiquement acceptable.

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Dans ce cas, les conditions suivantes doivent être remplies :

le modèle doit refléter de manière adéquate les propriétés les plus essentielles (du point de vue d'un certain énoncé de problème) de l'objet, en faisant abstraction de ses propriétés non essentielles ; le modèle doit avoir un certain domaine d'application, en raison des hypothèses adoptées dans sa construction; le modèle doit permettre d'acquérir de nouvelles connaissances sur l'objet étudié.

Diapositive 20

MERCI POUR VOTRE ATTENTION

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Objet (processus de transport)

Pratique

Schéma de conception

Modèle mathématique

modèle mathématique

Algorithme

Programme

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 11

Lors de la première étape de la modélisation mathématique, la transition de l'objet de modélisation au schéma de calcul est effectuée. Un schéma de conception est un modèle significatif et/ou conceptuel d'un objet. Par exemple : un plan de transport de marchandises, une feuille de route, un tableau des transports, etc.

Dans un second temps, une recherche et une description formalisée du ou des processus du schéma de conception par un modèle mathématique est effectuée.

Au troisième stade, qualitatif et analyse quantitative modèle mathématique comprenant : 1) simplification, 2) résolution des contradictions, 3) correction.

À la quatrième étape, un algorithme efficace de modélisation mathématique est développé, selon lequel, à la cinquième étape, un programme de mise en œuvre de la modélisation mathématique est créé.

À la sixième étape, des recommandations pratiques sont obtenues en utilisant le programme. Recommandations pratiques est le résultat de l'utilisation d'un modèle mathématique dans un but précis dans l'étude d'un objet (processus de transport).

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 12

Les objectifs de la modélisation mathématique : 1) création de modèles de processus de transport pour concevoir plus avant des processus de transport optimaux (en termes de temps, de coût) ; 2) analyse des propriétés des processus de transport individuels afin d'estimer le temps et le coût.

Types de modélisation mathématique

	Paramétrique						simulation
							la modélisation
statique			dynamique
						Stationnaire				non stationnaire

Paramétrique la modélisation est une modélisation sans lien strict avec l'objet et le processus. La communication s'effectue uniquement par paramètres, par exemple : masse, longueur, pression, etc. Il y a des abstractions : point matériel, gaz parfait, etc.

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 13

Les modèles paramétriques statiques ne contiennent pas le paramètre "temps" et permettent d'obtenir les caractéristiques du système en équilibre. Les modèles paramétriques dynamiques contiennent le paramètre de temps et vous permettent d'obtenir la nature des processus transitoires du système.

Simulation(Simulation) - modélisation mathématique prenant en compte les caractéristiques géométriques de l'objet de simulation (taille, forme) ainsi que la distribution de densité en référence aux conditions initiales et aux limites (conditions aux limites de la géométrie de l'objet) aux objets.

processus

Algorithme du programme

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 14

La simulation stationnaire permet d'obtenir les caractéristiques de l'objet dans l'intervalle de temps tendant vers zéro, c'est-à-dire de « photographier » les caractéristiques de l'objet. La modélisation non stationnaire permet d'obtenir les caractéristiques de l'objet au fil du temps.

Structure du modèle mathématique

Paramètres d'entrée	équations,	paramètres de sortie
	dépendances, etc...

Propriétés du modèle mathématique :

1) Complétude - le degré de réflexion des propriétés connues de l'objet; 2) Précision - l'ordre de coïncidence des caractéristiques réelles (expérimentales) et trouvées à l'aide du modèle ;

3) L'adéquation est la capacité du modèle à décrire les paramètres de sortie avec une précision fixe pour des paramètres d'entrée fixes (zone d'adéquation).

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 15

4) La rentabilité est une évaluation du coût des ressources informatiques pour obtenir un résultat par rapport à un modèle mathématique similaire ;

5) Robustesse - la stabilité du modèle mathématique par rapport aux erreurs des données initiales (par exemple, les données ne correspondent pas à la physique du processus) ;

6) La productivité est l'impact de la précision des données d'entrée sur la précision des données de sortie du modèle ;

7) Clarté et simplicité du modèle.

Modèles mathématiques (selon la méthode d'obtention)

Empirique Théorique

Semi-empirique © FGBOU VPO USATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 16

Les modèles mathématiques empiriques sont obtenus en traitant et en analysant les résultats des données expérimentales. L'identification est la correction d'un modèle mathématique existant avec des données empiriques.

Les modèles mathématiques théoriques sont obtenus par des méthodes théoriques - analyse, synthèse, induction, déduction, etc.

Littérature sur la théorie de la modélisation mathématique et des modèles mathématiques :

1) Zarubin V. S. Modélisation mathématique en technologie: manuel. pour les universités / V. S. Zarubin. - 3e éd. - M.: Maison d'édition de MSTU im. N.E. Bauman. 2010. - 495 p.

2) Cherepashkov A. A., Nosov N. V. Technologies informatiques, modélisation et systèmes automatisés en génie mécanique: manuel. pour goujon. plus haut éducatif établissements. - Volgograd : Maison d'édition "In-folio", 2009. - 640 p.

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée" 17

4. Mathcad en tant qu'outil de programmation d'applications

Mathcad est un système de calcul formel de la classe des systèmes de conception assistée par ordinateur, axé sur la préparation de documents interactifs avec calculs et support visuel, il est facile à utiliser et à appliquer.

Mathcad a été conçu et écrit à l'origine par Allen Razdov du Massachusetts Institute of Technology.

Développeur : PTC. Premier numéro : 1986.

Résolution numérique d'équations différentielles et algébriques
méthodes;
Construction de graphes bidimensionnels et tridimensionnels de fonctions;
Utilisation de l'alphabet grec ;
Effectuer des calculs sous forme symbolique ;
Prise en charge de votre propre langage de programmation
© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique Appliquée"

Fonctions numériques sont conçus pour calculer les racines d'équations par des méthodes numériques de mathématiques appliquées, résoudre des problèmes d'optimisation, résoudre des équations différentielles par la méthode Runge-Kutta, etc.

Fonctions symboliques conçu pour les calculs analytiques, dont la structure est similaire aux transformations mathématiques classiques.

Variable système TOL - Tolérance de calcul (par défaut 10-3 ).

Réglage des variables étendues avec un pas fixe : x:=0, 0+0.01..10.

Si la variable est un tableau, vous pouvez accéder à l'élément du tableau en entrant l'index avec la touche [.

© FGBOU VPO UGATU ; café "Hydromécanique appliquée" 20

Littérature 1. Samarsky AA, Mikhailov AP Modélisation mathématique : Idées. Méthodes. Exemples.- M. : Nauka, Volkov E. A. Méthodes numériques. - M. : Nauka, Turchak L. I. Fondamentaux des méthodes numériques. - M. : Nauka, Kopchenova N.V., Maron I.A. Mathématiques computationnelles dans les exemples et les problèmes. – M. : Nauka, 1972.

Un peu d'histoire de la manipulation d'objets à la manipulation de concepts sur les objets le remplacement de l'objet, du processus ou du phénomène étudié par un équivalent plus simple et plus accessible pour la recherche l'incapacité de prendre en compte l'ensemble des facteurs qui déterminent les propriétés et le comportement de l'objet

Le rôle des modèles Le bâtiment est laid, fragile ou ne s'intègre pas dans le paysage environnant La démonstration de systèmes circulatoires dans la nature est inhumaine Les tensions, par exemple, dans les ailes, peuvent être trop élevées Il n'est pas économique d'assembler des circuits électriques pour les mesures

Communication du modèle avec l'original La création d'un modèle implique la préservation de certaines propriétés de l'original, et en différents modèles ces propriétés peuvent être différentes. Le bâtiment en carton est beaucoup plus petit que le vrai, mais permet de juger de sa apparence; l'affiche rend le système circulatoire compréhensible, bien qu'il n'ait rien à voir avec les organes et les tissus ; le modèle réduit ne vole pas, mais les tensions dans son corps correspondent aux conditions de vol.

Pourquoi utilise-t-on des modèles ? 1. Un modèle est plus accessible à la recherche qu'un objet réel, 2. Il est plus facile et moins coûteux d'étudier un modèle que des objets réels, 3. Certains objets ne peuvent pas être étudiés directement : il n'est pas encore possible, par exemple, de construire un dispositif de fusion thermonucléaire ou mener des expériences à l'intérieur des étoiles, 4. les expériences avec le passé sont impossibles, les expériences avec l'économie ou les expériences sociales sont inacceptables

Nomination de modèles 1. Avec l'aide du modèle, il est possible d'identifier les facteurs les plus significatifs qui forment les propriétés d'un objet. Étant donné que le modèle ne reflète que certaines des caractéristiques de l'objet - l'original, puis en faisant varier l'ensemble de ces caractéristiques dans le modèle, il est possible de déterminer le degré d'influence de certains facteurs sur l'adéquation du comportement du modèle

Le modèle est nécessaire : 1. Pour comprendre comment un objet particulier est arrangé : quelle est sa structure, ses propriétés, ses lois de développement et son interaction avec le monde environnant. 2. Pour apprendre à gérer un objet ou un processus et déterminer meilleurs moyens gestion selon des objectifs et des critères donnés. 3. Afin de prédire le comportement de l'objet et d'évaluer les conséquences de diverses méthodes et formes d'impact sur l'objet (modèles météorologiques, modèles de développement de la biosphère).

Propriété d'un modèle correct bon modèle a une propriété remarquable: son étude vous permet d'acquérir de nouvelles connaissances sur l'objet - l'original, malgré le fait que lors de la création du modèle, seules certaines des principales caractéristiques de l'original ont été utilisées

Modélisation des matériaux Le modèle reproduit les principales caractéristiques géométriques, physiques, dynamiques et fonctionnelles de l'objet à l'étude, lorsqu'un objet réel est comparé à sa copie agrandie ou réduite, ce qui permet la recherche en laboratoire avec le transfert ultérieur des propriétés de l'objet étudié processus et phénomènes du modèle à l'objet basés sur la théorie de la similarité (planétarium, modèles de bâtiments et d'appareils, etc.). Le processus de recherche dans ce cas est étroitement lié à l'impact matériel sur le modèle, c'est-à-dire qu'il consiste en une expérience à grande échelle. Ainsi, la modélisation des matériaux est, par nature, une méthode expérimentale.

Types de modélisation idéale Intuitif - modélisation d'objets qui ne se prêtent pas à la formalisation ou n'en ont pas besoin. Expérience de la vie une personne peut être considérée comme son modèle intuitif du monde environnant Signé - modélisation qui utilise des transformations de signes comme modèles différentes sortes: diagrammes, graphiques, dessins, formules, etc. et contenant un ensemble de lois par lesquelles vous pouvez opérer avec des éléments de modèle

Modélisation mathématique L'étude d'un objet est réalisée sur la base d'un modèle formulé dans le langage mathématique et étudié à l'aide de certaines méthodes mathématiques.La modélisation mathématique est un domaine de la science qui traite de la modélisation de phénomènes naturels, technologiques, économiques et vie publiqueà l'aide d'un appareil mathématique et, à l'heure actuelle, la mise en œuvre de ces modèles à l'aide d'un ordinateur

Tapis de classification. modèles Par finalité : descriptive optimisation simulation Par la nature des équations : linéaire non linéaire Par la prise en compte de l'évolution du système dans le temps : dynamique statique Par la propriété du domaine de définition des arguments : continu discret Par la nature du processus : stochastique déterministe

Modèle mathématique- il s'agit d'un ensemble d'objets mathématiques et de relations entre eux, reflétant de manière adéquate les propriétés et le comportement de l'objet étudié.

Les mathématiques au sens le plus général traitent de la définition et de l'utilisation de modèles symboliques. Un modèle mathématique couvre une classe d'objets mathématiques indéfinis (abstraits, symboliques) tels que des nombres ou des vecteurs, et les relations entre ces objets.

Une relation mathématique est une règle hypothétique reliant deux ou plusieurs objets symboliques. De nombreuses relations peuvent être décrites à l'aide d'opérations mathématiques qui relient un ou plusieurs objets à un autre objet ou à un ensemble d'objets (le résultat d'une opération). Le modèle abstrait, avec ses objets de nature arbitraire, relations et opérations, est défini par un ensemble cohérent de règles qui introduisent des opérations utilisables et établissent des relations générales entre leurs résultats. La définition constructive introduit un nouveau modèle mathématique, utilisant des concepts mathématiques déjà connus (par exemple, la définition de l'addition et de la multiplication de matrices en termes d'addition et de multiplication de nombres).

Un modèle mathématique reproduira de manière appropriée des aspects sélectionnés d'une situation physique si une règle de correspondance peut être établie reliant des objets et des relations physiques spécifiques à certains objets et relations mathématiques. Il peut aussi être instructif et/ou intéressant de construire des modèles mathématiques pour lesquels monde physique les analogues n'existent pas. Les modèles mathématiques les plus connus sont les systèmes d'entiers et de nombres réels et la géométrie euclidienne ; les propriétés déterminantes de ces modèles sont des abstractions plus ou moins directes de processus physiques (comptage, ordonnancement, comparaison, mesure).

Les objets et les opérations de modèles mathématiques plus généraux sont souvent associés à des ensembles de nombres réels, qui peuvent être corrélés avec les résultats de mesures physiques.

La modélisation mathématique est une méthode de description qualitative et (ou) quantitative d'un processus utilisant le modèle dit mathématique, dans la construction duquel un processus ou un phénomène réel est décrit à l'aide de l'un ou l'autre appareil mathématique adéquat. La modélisation mathématique fait partie intégrante de la recherche moderne.

La modélisation mathématique est une discipline typique située, comme on le dit souvent aujourd'hui, à la "jonction" de plusieurs sciences. Un modèle mathématique adéquat ne peut être construit sans une connaissance approfondie de l'objet qui est « servi » par le modèle mathématique. Parfois s'exprime l'espoir illusoire qu'un modèle mathématique puisse être créé conjointement par un mathématicien qui ne connaît pas l'objet de la modélisation, et un spécialiste de « l'objet » qui ne connaît pas les mathématiques. Pour une activité réussie dans le domaine de la modélisation mathématique, il est nécessaire de connaître à la fois les méthodes mathématiques et l'objet de la modélisation. Ceci est lié, par exemple, à la présence d'une telle spécialité en tant que physicien théoricien, dont l'activité principale est la modélisation mathématique en physique. La division des spécialistes en théoriciens et expérimentateurs, qui s'est établie en physique, se produira sans doute dans les autres sciences, tant fondamentales qu'appliquées.

En raison de la variété des modèles mathématiques appliqués, leur classification générale difficile. Dans la littérature, des classifications sont généralement données, qui sont basées sur différentes approches. L'une de ces approches est liée à la nature du processus modélisé, lorsque l'on distingue les modèles déterministes et probabilistes. Parallèlement à une classification aussi répandue des modèles mathématiques, il en existe d'autres.

Classification des modèles mathématiques en fonction des caractéristiques de l'appareil mathématique appliqué . Il comprend les variétés suivantes.

Habituellement, de tels modèles sont utilisés pour décrire la dynamique de systèmes constitués d'éléments discrets. Du côté mathématique, ce sont des systèmes d'équations différentielles linéaires ou non linéaires ordinaires.

Les modèles mathématiques à paramètres localisés sont largement utilisés pour décrire des systèmes constitués d'objets discrets ou d'ensembles d'objets identiques. Par exemple, le modèle dynamique d'un laser à semi-conducteur est largement utilisé. Dans ce modèle, deux variables dynamiques apparaissent - les concentrations de porteurs de charge mineurs et de photons dans la zone active du laser.

Dans le cas de systèmes complexes, le nombre de variables dynamiques et, par conséquent, d'équations différentielles peut être important (jusqu'à 102 ... 103). Dans ces cas, diverses méthodes de réduction du système sont utiles, basées sur la hiérarchie temporelle des processus, évaluant l'influence de divers facteurs et négligeant les insignifiants d'entre eux, etc.

La méthode d'extension successive du modèle peut conduire à la création d'un modèle adéquat système complexe.

Des modèles de ce type décrivent les processus de diffusion, de conduction thermique, de propagation d'ondes de nature diverse, etc. Ces processus peuvent ne pas être uniquement de nature physique. Les modèles mathématiques à paramètres distribués sont largement utilisés en biologie, en physiologie et dans d'autres sciences. Le plus souvent, les équations de la physique mathématique, y compris les équations non linéaires, sont utilisées comme base d'un modèle mathématique.

Le rôle fondamental du principe de plus grande action en physique est bien connu. Par exemple, tous les systèmes d'équations connus décrivant des processus physiques peuvent être dérivés de principes extrémaux. Cependant, dans d'autres sciences, les principes extrêmes jouent un rôle essentiel.

Le principe extrémal est utilisé lors de l'approximation des dépendances empiriques par une expression analytique. La représentation graphique d'une telle dépendance et la forme spécifique de l'expression analytique décrivant cette dépendance est déterminée en utilisant le principe extrémal, appelé méthode des moindres carrés (méthode de Gauss), dont l'essence est la suivante.

Faisons une expérience dont le but est d'étudier la dépendance d'une grandeur physique Oui de la quantité physique X. On suppose que les valeurs x et y liés par une dépendance fonctionnelle

La forme de cette dépendance doit être déterminée à partir de l'expérience. Supposons qu'à la suite de l'expérience, nous ayons obtenu un certain nombre de points expérimentaux et construit un graphe de dépendance à de X. Habituellement, les points expérimentaux sur un tel graphique ne sont pas situés tout à fait correctement, ils donnent une certaine dispersion, c'est-à-dire qu'ils révèlent des écarts aléatoires par rapport au modèle général visible. Ces écarts sont associés à des erreurs de mesure inévitables dans toute expérience. Se pose alors le problème du lissage de la dépendance expérimentale, typique de la pratique.

Pour résoudre ce problème, on utilise habituellement une méthode de calcul, dite méthode des moindres carrés (ou méthode de Gauss).

Bien entendu, les variétés de modèles mathématiques répertoriées n'épuisent pas l'ensemble de l'appareil mathématique utilisé dans la modélisation mathématique. L'appareil mathématique de la physique théorique et, en particulier, sa section la plus importante, la physique des particules élémentaires, est particulièrement diversifié.

Les domaines de leur application sont souvent utilisés comme principe de base de la classification des modèles mathématiques. Avec cette approche, les domaines d'application suivants sont distingués:

processus physiques;

applications techniques, y compris les systèmes gérés, intelligence artificielle;

processus vitaux(biologie, physiologie, médecine);

les grands systèmes associés à l'interaction des personnes (sociale, économique, environnementale) ;

sciences humaines (linguistique, art).

(Les domaines d'application sont listés par ordre décroissant selon le niveau d'adéquation des modèles).

Types de modèles mathématiques : déterministes et probabilistes, factoriels théoriques et expérimentaux. Linéaire et non linéaire, dynamique et statique. continu et discret, fonctionnel et structurel.

Classification des modèles mathématiques (TO - objet technique)

La structure d'un modèle est un ensemble ordonné d'éléments et de leurs relations. Un paramètre est une valeur qui caractérise une propriété ou le mode de fonctionnement d'un objet. Les paramètres de sortie caractérisent les propriétés de l'objet technique, et les paramètres internes caractérisent les propriétés de ses éléments. Les paramètres externes sont des paramètres Environnement externe, qui affecte le fonctionnement de l'objet technique.

Les modèles mathématiques sont soumis à des exigences d'adéquation, d'économie, d'universalité. Ces affirmations sont contradictoires.

Selon le degré d'abstraction dans la description propriétés physiques Le système technique distingue trois niveaux hiérarchiques principaux : le niveau supérieur ou méta, le niveau intermédiaire ou macro, le niveau inférieur ou micro.

Le niveau méta correspond aux étapes initiales de la conception, au cours desquelles s'effectuent la recherche et la prospective scientifiques et techniques1, l'élaboration d'un concept et d'une solution technique, et l'élaboration d'une proposition technique. Construire des modèles mathématiques du métaniveau, les méthodes de synthèse morphologique, la théorie des graphes, la logique mathématique, la théorie contrôle automatique, la théorie des files d'attente, la théorie des automates finis.

Au niveau macro, un objet est considéré comme un système dynamique avec des paramètres localisés. Les modèles mathématiques du niveau macro sont des systèmes d'équations différentielles ordinaires. Ces modèles sont utilisés pour déterminer les paramètres d'un objet technique et de ses éléments fonctionnels.

Au niveau micro, un objet est représenté comme un milieu continu avec des paramètres distribués. Pour décrire les processus de fonctionnement de tels objets, des équations aux dérivées partielles sont utilisées. Au niveau micro, les éléments d'un système technique qui sont indivisibles en termes de caractéristiques fonctionnelles, appelés éléments de base, sont conçus. En même temps, l'élément de base est considéré comme un système constitué d'un ensemble d'éléments fonctionnels similaires de même nature physique, interagissant les uns avec les autres et étant influencés par l'environnement extérieur et d'autres éléments de l'objet technique, qui sont les environnement par rapport à l'élément de base.

Selon la forme de représentation des modèles mathématiques, on distingue les modèles invariants, algorithmiques, analytiques et graphiques de l'objet de conception.

À invariant forme, le modèle mathématique est représenté par un système d'équations sans égard à la méthode de résolution de ces équations.

À algorithmique sous forme de modèles, des relations sont associées à la méthode de résolution numérique choisie et sont écrites sous la forme d'un algorithme - une séquence de calculs. Les modèles algorithmiques comprennent imitation, des modèles destinés à simuler les processus physiques et informationnels intervenant dans l'objet lors de son fonctionnement sous l'influence de divers facteurs environnementaux.

Analytique le modèle représente les dépendances explicites des variables souhaitées sur les valeurs données (généralement, les dépendances des paramètres de sortie de l'objet sur les paramètres internes et externes). De tels modèles sont obtenus sur la base de lois physiques, ou à la suite d'une intégration directe des équations différentielles d'origine. Les modèles mathématiques analytiques permettent de résoudre facilement et simplement le problème de la détermination des paramètres optimaux. Par conséquent, s'il est possible d'obtenir un modèle sous cette forme, il est toujours conseillé de le mettre en œuvre, même s'il nécessite l'exécution d'un certain nombre de procédures auxiliaires.Ces modèles sont généralement obtenus par conception expérimentale (informatique ou physique).

Graphique Le modèle (de circuit) est représenté sous forme de graphes, de circuits équivalents, de modèles dynamiques, de diagrammes, etc. Pour utiliser des modèles graphiques, il doit y avoir une règle de correspondance un à un images conditionnelleséléments de graphiques et composants de modèles mathématiques invariants.

La division des modèles mathématiques en modèles fonctionnels et structurels est déterminée par la nature des propriétés affichées de l'objet technique.

De construction les modèles n'affichent que la structure des objets et ne sont utilisés que pour résoudre des problèmes de synthèse structurelle. Les paramètres des modèles structurels sont des signes d'éléments fonctionnels ou structurels qui composent un objet technique et dans lesquels une version de la structure de l'objet diffère d'une autre. Ces paramètres sont appelés variables morphologiques. Les modèles structurels prennent la forme de tableaux, de matrices et de graphiques. La plus prometteuse est l'utilisation de graphes arborescents de type AND-OR-tree. De tels modèles sont largement utilisés au niveau méta lors du choix d'une solution technique.

Fonctionnel les modèles décrivent les processus de fonctionnement objets techniques et ont la forme de systèmes d'équations. Ils prennent en compte les propriétés structurelles et fonctionnelles de l'objet et permettent de résoudre des problèmes de synthèse tant paramétrique que structurelle. Ils sont largement utilisés à tous les niveaux de conception. Au niveau méta, les tâches fonctionnelles permettent de résoudre des problèmes de prévision, au niveau macro - choisir la structure et optimiser les paramètres internes d'un objet technique, au niveau micro - optimiser les paramètres éléments basiques.

Selon les méthodes d'obtention, les modèles mathématiques fonctionnels sont divisés en théoriques et expérimentaux.

Théorique les modèles sont obtenus sur la base de la description des processus physiques du fonctionnement de l'objet, et expérimental- basé sur le comportement de l'objet dans l'environnement extérieur, en le considérant comme une "boîte noire". Les expériences dans ce cas peuvent être physiques (sur un objet technique ou son modèle physique) ou informatiques (sur un modèle mathématique théorique).

Lors de la construction de modèles théoriques, des approches physiques et formelles sont utilisées.

L'approche physique se réduit à l'application directe de lois physiques pour décrire des objets, par exemple les lois de Newton, Hooke, Kirchhoff, etc.

L'approche formelle utilise des principes mathématiques généraux et est utilisée dans la construction de modèles théoriques et expérimentaux. Les modèles expérimentaux sont formels. Ils ne prennent pas en compte l'ensemble des propriétés physiques des éléments du système technique à l'étude, mais établissent seulement une connexion trouvée au cours de l'expérience entre les paramètres individuels du système, qui peuvent être variés et (ou) mesurés. De tels modèles ne fournissent une description adéquate des processus étudiés que dans une région limitée de l'espace des paramètres, dans laquelle les paramètres ont été modifiés dans l'expérience. Par conséquent, les modèles mathématiques expérimentaux sont d'une nature particulière, tandis que les lois physiques reflètent les modèles généraux de phénomènes et de processus qui se produisent tout au long de système technique, ainsi que dans chacun de ses éléments séparément. Par conséquent, les modèles mathématiques expérimentaux ne peuvent être acceptés comme des lois physiques. Cependant, les méthodes utilisées pour construire ces modèles sont largement utilisées pour tester des hypothèses scientifiques.

Les modèles mathématiques fonctionnels peuvent être linéaires et non linéaires. Linéaire les modèles ne contiennent que des fonctions linéaires de grandeurs caractérisant l'état de l'objet lors de son fonctionnement, et leurs dérivées. Les caractéristiques de nombreux éléments d'objets réels ne sont pas linéaires. Les modèles mathématiques de ces objets incluent des fonctions non linéaires de ces quantités et de leurs dérivées et se réfèrent à non linéaire .

Si la modélisation prend en compte les propriétés inertielles de l'objet et (ou) le changement dans le temps de l'objet ou de l'environnement extérieur, alors le modèle est appelé dynamique. Sinon le modèle est statique. Représentation mathématique du modèle dynamique dans cas général peut être exprimé par un système d'équations différentielles, et statique - par un système d'équations algébriques.

Si l'impact de l'environnement sur l'objet est de nature aléatoire et décrit par des fonctions aléatoires. Dans ce cas, il faut construire probabiliste modèle mathématique. Cependant, un tel modèle est très complexe et son utilisation dans la conception d'objets techniques nécessite beaucoup de temps informatique. Par conséquent, il est utilisé pour étape finale motif.

La plupart des procédures de conception sont effectuées sur des modèles déterministes. Un modèle mathématique déterministe est caractérisé par une correspondance univoque entre une influence externe sur un système dynamique et sa réponse à cette influence. Dans une expérience informatique, lors de la conception, certaines actions standard typiques sur un objet sont généralement définies : pas à pas, impulsionnelles, harmoniques, linéaires par morceaux, exponentielles, etc. Elles sont appelées actions de test.

Suite du tableau « Classification des modèles mathématiques

Types de modèles mathématiques d'objets techniques
En prenant en compte les propriétés physiques de TO	Par la capacité de prédire les résultats
Dynamique	déterministe
Statique	probabiliste
continu
Discret
Linéaire
A ce stade, les étapes suivantes sont réalisées. Un plan est établi pour la création et l'utilisation d'un modèle logiciel. En règle générale, le programme modèle est créé à l'aide d'outils d'automatisation de la simulation informatique. Ainsi, le plan indique : le type d'ordinateur ; outil d'automatisation de la simulation ; coûts approximatifs de la mémoire informatique pour la création d'un programme modèle et de ses tableaux de travail ; le coût du temps machine pour un cycle du modèle ; estimations des coûts de programmation et de débogage du programme modèle. Ensuite, le chercheur commence à programmer le modèle. Comme Termes de référence description pour la programmation modèle de simulation. Les spécificités du travail de programmation de modèles dépendent des outils d'automatisation de la modélisation qui sont à la disposition du chercheur. Il n'y a pas de différences significatives entre la création d'un programme modèle et le débogage hors ligne ordinaire des modules de programme grand programme ou un progiciel Conformément au texte, le modèle est divisé en blocs et sous-blocs. Contrairement au débogage hors ligne habituel des modules de programme, lors du débogage de blocs et de sous-blocs d'un modèle de programme, la quantité de travail augmente considérablement, car pour chaque module, il est nécessaire de créer et de déboguer un simulateur d'environnement externe. Il est très important de vérifier l'implémentation des fonctions du module dans le temps t du modèle et d'estimer le coût du temps ordinateur pour un cycle du modèle en fonction des valeurs des paramètres du modèle. Le travail est complété lors du débogage autonome des composants du modèle en préparant les formulaires de représentation des données d'entrée et de sortie de la simulation. Procédez ensuite à la deuxième vérification de la fiabilité du programme du modèle de système. Lors de cette vérification, la correspondance des opérations dans le programme et la description du modèle est établie. Pour cela, il est produit traduction inverse programmes dans le schéma du modèle (le "défilement" manuel vous permet de trouver des erreurs grossières dans la statique du modèle). Après avoir éliminé les erreurs grossières, un certain nombre de blocs sont combinés et le débogage complexe du modèle commence à l'aide de tests. Le débogage des tests commence par quelques blocs, puis un nombre croissant de blocs de modèle sont impliqués dans ce processus. Notez que le débogage complexe du programme modèle est beaucoup plus difficile que le débogage des packages d'application, car les erreurs de dynamique de simulation dans ce cas sont beaucoup plus difficiles à trouver en raison du fonctionnement quasi parallèle des différents composants du modèle. A l'issue du débogage complexe du programme modèle, il est nécessaire de ré-estimer les coûts en temps ordinateur pour un cycle de calculs sur le modèle. Dans ce cas, il est utile d'obtenir une approximation du temps de simulation pour un cycle de simulation. La prochaine étape consiste à compiler documentation technique pour un modèle de système complexe. À la fin du débogage complexe du programme modèle, le résultat de l'étape devrait être Les documents suivants: description du modèle de simulation ; description du programme modèle indiquant le système de programmation et la notation acceptée ; schéma complet du programme modèle; enregistrement complet du programme modèle dans le langage de modélisation ; preuve de la fiabilité du programme modèle (résultats d'un débogage complexe du programme modèle); description des valeurs d'entrée et de sortie avec les explications nécessaires (dimensions, échelles, plages de valeurs, symboles); évaluation du coût du temps informatique pour un cycle de simulation ; instructions pour travailler avec le programme modèle. Pour vérifier l'adéquation du modèle à l'objet d'étude, après avoir rédigé une description formelle du système, le chercheur établit un plan pour mener des expériences grandeur nature avec un prototype de système. S'il n'y a pas de prototype du système, un système de MI imbriqués peut être utilisé, différant les uns des autres par le degré de détail de l'imitation des mêmes phénomènes. Ensuite, le modèle plus détaillé sert de prototype pour la MN généralisée. S'il est impossible de construire une telle séquence, soit par manque de ressources pour effectuer ce travail, soit par manque d'informations, alors ils se passent de vérifier l'adéquation de la MN. Selon ce plan, parallèlement au débogage de l'IM, une série d'expériences grandeur nature sur un système réel est réalisée, au cours de laquelle contrôler les résultats. Disposant des résultats de contrôle et des résultats des tests MI, le chercheur vérifie l'adéquation du modèle à l'objet. Si des erreurs sont trouvées lors de la phase de mise au point qui ne peuvent être corrigées que dans les phases précédentes, un retour à la phase précédente peut avoir lieu. En plus de la documentation technique, les résultats de l'étape sont accompagnés d'une implémentation machine du modèle (un programme traduit dans le code machine de l'ordinateur sur lequel la simulation va se dérouler). Il s'agit d'une étape importante dans la création du modèle. Dans ce cas, vous devez procéder comme suit. Assurez-vous d'abord que la dynamique de développement de l'algorithme de modélisation de l'objet d'étude est correcte au cours de la simulation de son fonctionnement (pour vérifier le modèle). Deuxièmement, pour déterminer le degré d'adéquation du modèle et de l'objet d'étude. L'adéquation d'un modèle logiciel de simulation à un objet réel s'entend comme la coïncidence avec une précision donnée des vecteurs des caractéristiques du comportement de l'objet et du modèle. En l'absence d'adéquation, le modèle de simulation est calibré (« corriger » les caractéristiques des algorithmes des composants du modèle). La présence d'erreurs dans l'interaction des composants du modèle ramène le chercheur à l'étape de création d'un modèle de simulation. Il est possible qu'au cours de la formalisation, le chercheur ait trop simplifié les phénomènes physiques, exclu de la considération un certain nombre d'aspects importants du fonctionnement du système, ce qui a conduit à l'inadéquation du modèle à l'objet. Dans ce cas, le chercheur doit revenir à l'étape de formalisation du système. Dans les cas où le choix de la méthode de formalisation s'est avéré infructueux, le chercheur doit répéter l'étape d'élaboration d'un modèle conceptuel en tenant compte nouvelle information et l'expérience émergente. Enfin, lorsque le chercheur ne dispose pas d'informations suffisantes sur l'objet, il doit revenir à l'étape de compilation d'une description significative du système et l'affiner en tenant compte des résultats des tests du modèle de système précédent. Dans le même temps, la précision des phénomènes de simulation, la stabilité des résultats de simulation et la sensibilité des critères de qualité aux modifications des paramètres du modèle sont évaluées. Il est très difficile d'obtenir ces estimations dans certains cas. Cependant, sans les résultats positifs de ce travail, ni le développeur ni le client IM n'auront confiance dans le modèle. Différents chercheurs, selon le type de MI, ont développé différentes interprétations des concepts de précision, stabilité, stationnarité, sensibilité de la MI. Jusqu'à présent, il n'y a pas de théorie généralement acceptée de l'imitation de phénomènes sur un ordinateur. Chaque chercheur doit s'appuyer sur son expérience dans l'organisation de la simulation et sur sa compréhension des caractéristiques de l'objet de simulation. La précision de la simulation des phénomènes est une évaluation de l'influence des éléments stochastiques sur le fonctionnement d'un modèle de système complexe. La stabilité des résultats de simulation est caractérisée par la convergence du paramètre de simulation contrôlé vers une certaine valeur avec une augmentation du temps de simulation d'une variante d'un système complexe. La stationnarité du mode de simulation caractérise un certain équilibre des processus dans le modèle du système, lorsque la poursuite de la simulation n'a pas de sens, puisque le chercheur ne recevra pas de nouvelles informations du modèle, et la poursuite de la simulation ne conduit pratiquement qu'à une augmentation du temps de calcul. Il est nécessaire de prévoir une telle possibilité et de développer une méthode pour déterminer le moment où le mode de simulation stationnaire est atteint. La sensibilité MI est représentée par la valeur de l'incrément minimum du critère de qualité sélectionné, calculé à partir des statistiques de simulation, avec variation séquentielle des paramètres de simulation sur toute la plage de leurs évolutions. Cette étape commence par la conception de l'expérience, permettant au chercheur d'obtenir le plus d'informations avec le moins d'effort de calcul. Une justification statistique du plan expérimental est requise. La planification d'expériences est une procédure permettant de choisir le nombre et les conditions d'expériences nécessaires et suffisantes pour résoudre le problème avec la précision requise. Dans le même temps, les éléments suivants sont essentiels : le désir de minimiser le nombre total d'expériences, en garantissant la possibilité d'une variation simultanée de toutes les variables ; l'utilisation d'un appareil mathématique qui formalise nombre d'actions des expérimentateurs ; choisir une stratégie claire qui vous permet de prendre des décisions éclairées après chaque série d'expériences sur le modèle. Ensuite, le chercheur procède à des calculs de travail sur le modèle. Il s'agit d'un processus très chronophage qui nécessite une grande ressource informatique et une abondance de travail de bureau. Il convient de noter que dès les premières étapes de la création d'un MI, il est nécessaire d'examiner attentivement la composition et le volume des informations de modélisation afin de faciliter considérablement l'analyse ultérieure des résultats de simulation. Le résultat du travail sont les résultats de la simulation. Cette étape complète la chaîne technologique des étapes de création et d'utilisation des modèles de simulation. Après avoir reçu les résultats de la simulation, le chercheur procède à l'interprétation des résultats. Les cycles de simulation suivants sont possibles ici. Au premier cycle de l'expérience de simulation, le MN prévoit à l'avance le choix des options pour le système étudié en fixant les conditions initiales de simulation pour programme machine des modèles. Dans le deuxième cycle de l'expérience de simulation, le modèle est modifié dans le langage de modélisation, et donc la retraduction et l'édition du programme sont nécessaires. Il est possible qu'au cours de l'interprétation des résultats, le chercheur ait constaté la présence d'erreurs soit lors de la création du modèle, soit lors de la formalisation de l'objet de modélisation. Dans ces cas, on revient aux étapes de construction d'une description du modèle de simulation ou d'élaboration d'un modèle conceptuel du système, respectivement. Le résultat de l'étape d'interprétation des résultats de simulation sont des recommandations pour la conception du système ou sa modification. Avec les recommandations à leur disposition, les chercheurs commencent à prendre des décisions de conception. L'interprétation des résultats de la simulation est fortement influencée par les capacités d'imagerie de l'ordinateur utilisé et du système de simulation mis en œuvre sur celui-ci. 1. Comment la classification des modèles mathématiques est-elle basée sur les caractéristiques de l'appareil mathématique appliqué. Résumé de mathématiques Développement d'un modèle économique et mathématique d'optimisation de la structure sectorielle de la production dans le secteur agricole